Есть задание, которое нужно выполнить до 11 ч 28 янавря.
Может покажется что задание легкое, но я так и смог разобраться.
Задание:
Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки P(3;-2;4) на плоскость 5x+3y-7z+1=0
Начало решения:
Получается что (x0, y0, z0) точка, а Ax+By+Cz+D=0 плоскость.
Пусть для t точка (x0+tA,y0+tB,z0+tC) будет лежать в плоскости, что будет являться основанием перпендикуляра.
Получаем A(x0+tA)+B(y0+tB)+C(z0+tC)+D=0
Считаем читать дальше
. а что дальше я не очень понял.( может и не нужно его считать. )
Из прочитанного учебного материала я понял что уравнение должно иметь вид читать дальше. Помогите привести уравнение к такому виду.
m, n, p — вектора, (насколько я понимаю) перпендикулярные x0, y0, z0
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости
Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
 |
(1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
 |
(2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
 |
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:
 |
(3) |
Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости
 |
Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :
 |
(4) |
Подставляя координаты точки M(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:
Прямая и плоскость
Даны канонические уравнения прямой
Пример. Найти проекцию точки А (2; –1; 3) на плоскость x + 2 y – z – 3 =0.
Решение. Проекцию точки А на плоскость найдем как точку пересечения плоскости перпендикуляром, опущенным из точки А на данную плоскость. Составим уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А (2; –1; 3) на плоскость x + 2 y – z – 3 = 0:
Из условия перпендикулярности прямой и плоскости имеем 
,
т.е. m = 1, n = 2, p = –1. Уравнения перпендикуляра примут вид
.
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему из уравнений прямой и плоскости:
или 
или 
Решая указанную систему, получим координаты проекции точки А на данную плоскость: (3; 1; 2).
