Уравнение параболы фокус и директриса

Уравнение параболы фокус и директриса

В первой главе исследовательского проекта рассматривается история возникновения и развития понятия «парабола». Во второй главе доказывается, что парабола может быть определена не только как график квадратичной функции, но и как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки. Актуальность работы в том, что, парабола рассматривается с точки зрения геометрии и физики расширяет и углубляет знания о параболе, полученные на уроках математики. Полученные результаты работы могут использоваться на уроках математики, на занятиях математического кружка. Кроме того, можно применять полученные знания при построении графика квадратичной функции.

Скачать:

Вложение Размер
fokus_i_direktrisa_paraboly.rar 759.47 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Сапоговская общеобразовательная школа»

ФОКУС И ДИРЕКТРИСА ПАРАБОЛЫ

Автор: Саркисян Алина, ученица 9 класса

Руководитель: Найдешкина Л.А.,

С квадратичной функцией и ее графиком мы знакомимся в 8 и 9 классах. В первой главе исследовательского проекта рассматривается история возникновения и развития понятия «парабола». Во второй главе доказывается, что парабола может быть определена не только как график квадратичной функции, но и как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки. Рассмотрение параболы как геометрического места точек привело к нахождению авторского оригинального способа нахождения фокуса и директрисы параболы y = ax 2 + bx + c. Этот способ нахождения фокуса и директрисы параболы описан в главе 3.

Актуальность работы в том, что, парабола рассматривается с точки зрения геометрии и физики расширяет и углубляет знания о параболе, полученные на уроках математики. Полученные результаты работы могут использоваться на уроках математики, на занятиях математического кружка. Кроме того, можно применять полученные знания при построении графика квадратичной функции.

Объектом исследования в представленной работе является геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки.

Предметом исследования является график геометрического места точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки – квадратная парабола.

  • геометрическим местом точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки является квадратная парабола;
  • можно найти авторский способ нахождения фокуса и директрисы квадратичной функции y = ax 2 + bx + c.

Для доказательства этой гипотезы была поставлена цель:

доказать, что графиком геометрического места точек равноудаленных от заданной прямой и заданной точки является парабола, найти собственные способы нахождения фокуса и директрисы квадратичной функции

Для достижения этой цели были определены следующие задачи:

  • изучение истории возникновения и развития понятия «парабола»;
  • изучение в математической литературе способов построения параболы;
  • развитие математической интуиции, творческих способностей;
  • приобретение опыта научной работы;
  • приобретение опыта публичных выступлений.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы в проектной работе использовались следующие методы исследования:

  • теоретический анализ сведений о параболе в истории математики;
  • анализ известных определений параболы;
  • анализ известных способов доказательства;
  • синтез полученных знаний об уравнении параболы как геометрического места точек;
  • анализ применения свойства параболы фокусировать направленные на нее параллельные лучи;
  • метод проектов.

Продуктом проекта является оформленный исследовательский проект «Фокус и директриса параболы»

Парабола как коническое сечение в Древней Греции

Коническими сечениями много занимались математики Древней Греции. Именно древние греки установили, что при сечении конуса плоскостью могут получаться кривые второго порядка. Если рассечь круговой конус плоскостью, перпендикулярной оси конуса, в сечении получится окружность. Если секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса, то в сечении получается эллипс. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то в сечении получается неограниченная (в одну сторону) линия, называемая параболой. Если секущая плоскость пересекает обе полости поверхности кругового конуса, то в сечении получается линия, состоящая из двух неограниченно удаляющихся ветвей, называемая гиперболой. В частности гипербола получается в том случае, когда секущая плоскость параллельна оси конуса.

Философ Прокл, живший в 5 веке нашей эры, которому доступны были древние источники, считал, что Мэнаихм, ученик Платона, живший около 350 года до нашей эры, открыл все конические сечения.

В книге «Квадратура параболы» великий Архимед (287-212 годы до нашей эры) привел выражение для площади параболического сегмента (4/3 площади вписанного треугольника с основанием таким же, как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). Полное изложение конических сечений дал ученик Евклида Аполлоний из Перги (260-170 годы до нашей эры) в замечательном трактате из восьми книг «О кониках». Семь из этих книг сохранились, причём три из них — только в арабском переводе. Это трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, которые определяются как сечения кругового конуса. [1]

Читайте также:  Создать налоговый кабинет для физических лиц

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола (рис. 3).

В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Парабола образуется, когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой (рис.3). Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).

Описывая эллипс, параболу и гиперболу языком алгебры. Математик выберет в плоскости сечения такую прямоугольную систему координат, в которой уравнения кривых имеют наиболее простой вид. Если направить ось симметрии конического сечения и поместить начало координат на саму кривую (рис. 3), то её уравнение примет вид , где р и λ – некоторые постоянные, причём р≠0. Если λ=0,уравнение описывает параболу, а если λ 0 – гиперболу.

Происхождение названия кривых объясняет рис.4.

Построим в вершине каждой из трёх кривых любой прямоугольник высотой 2р (на рисунке он коричневого цвета). К нему «приставим» зелёный квадрат, касающийся вершиной кривой, а стороной – оси симметрии. Тогда в параболе площади квадрата и прямоугольника равны, в эллипсе площадь квадрата меньше, а в гиперболе больше, чем прямоугольника. В переводе с греческого «параболе» — «сопоставление», «сравнение», «прикладывание»; «эллипсис» — «выпадение», «опущение»; «хиперболе» — «преувеличение». [2]

1.2 Применение параболы при решении некоторых уравнений в 9-11 веках на Востоке

С середины 9 века до середины 11 века восточно-арабская математика пережила время особенно яркого и быстрого развития. В это время ал-Хайтам из Барсы (в Ираке) (965-1039г.г.), используя понятия гиперболы и параболы, смог решить некоторые кубические уравнения. Его современник ал-Кухи сформулировал задачу построения сферического сегмента, по объёму равного данному сегменту, и по поверхности — другому сегменту. Эту задачу ал-Кухи решил путём построения гиперболы и параболы. В это время арабские учёные сформулировали достаточно много задач, которые сводились к решению кубических уравнений, решение же уравнений искалось как абсцисса точки пересечения двух конических сечений, чаще всего параболы и гиперболы. Омар Хайям в своей знаменитой книге «Алгебра» приводит решения кубических уравнений и уравнений четвёртой степени с помощью параболы и полуокружности или параболы и гиперболы.

1.3. Парабола в эпоху Возрождения в Европе

Долгое время конические сечения, считавшиеся вершиной греческой геометрии – эллипсы, параболы, гиперболы – казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности. В 16 веке Никола Тарталья предположил, что траектория брошенного тела не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой. В 17 веке Иоганн Кеплер (1571-1630г.г.) обнаружил, что по эллипсам движутся планеты, а некоторые кометы имеют параболическую траекторию движения (рис. 5).

В 17 веке Галилео Галилей рассматривал механику падающих тел. В своей книге «Беседы» (1638г.) Галилей пришёл к математическому изучению движения, к зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением. В этой книге так же доказывается, что выпущенный из пушки снаряд летит по параболической траектории. Галилей указывает, что цепная линия сходна с параболой, но не даёт точного описания этой кривой.

Читайте также:  Ремонт и апгрейд компьютера

Первое упоминание о параболе встречается в Древней Греции в трудах Мэнаихма (4 век до н.э.).

На Востоке в (9-11 веках).

В древней Греции парабола вводится как одно из возможных конических сечений, парабола используется для решения уравнений третьей и четвертой степени.

В эпоху Возрождения в Европе парабола описывается как траектория движения брошенного камня или запущенного из пушки снаряд.

Определение: параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от прямой и не лежащей на ней точки. [3]

Пусть на плоскости дана прямая ℓ и не лежащая на ней точка M. Пусть расстояние от точки M до прямой ℓ равно 2 m.

Расположим оси координат в соответствии с рисунком 1: ось абсцисс параллельна прямой ℓ на расстоянии от неё m (прямая ℓ проходит через точку (0; -m) ), ось ординат проходит через точку M.

Пусть точка A (x; y) равноудалена от прямой ℓ и точки M, т.е. AM = AB (AB перпендикулярно оси абсцисс). Проведем MD перпендикулярно AB. Тогда в прямоугольном треугольнике AMD:

По теореме Пифагора получим:

AM 2 = MD 2 + AD 2 = x 2 + (y – m) 2 .

По рисунку 1 AB = y + m.

Так как AM= AB, то AM 2 = AB 2 ,

тогда x 2 + (y– m) 2 = (y + m) 2 ,

x 2 +y 2 – 2my + m 2 = y 2 + 2my + m 2 ,

x 2 + y 2 – 2my + m 2 – y 2 – 2my – m 2 = 0,

Так как точка A взята произвольно, то координаты любой точки, равноудаленной от заданной точки (M) и заданной прямой (ℓ ), связаны между собой полученным выражением (1). Это уравнение называется уравнением параболы (с вершиной в начале координат).

При m = 1/4 получим y = x 2 , при m = 1 получим y = x 2 /4.

Точка M называет фокусом параболы, а прямая ℓ – директрисой.

Покажем, как в уравнении параболы (1) связан коэффициент, при

x 2 = (1/4m) с расстоянием фокуса параболы (точки M) от оси x(m).

Пусть1/(4m) = k, k>0. Тогда уравнение (1) примет вид y = kx 2 (2).

Так как k =1/(4m), то km = 1/4, m= 1/(4k). То есть связь между m и k – обратная пропорциональность. Графиком, отображающим связь между m и k, является гипербола (рис.7).

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .

Чем меньше k, тем выше фокус параболы: при k=4 m= 1/16, при k= 1/10 m=2,5.

3.1 Построение параболы с помощью натянутой нити

Используя геометрическое определение параболы, нетрудно смастерить устройство, с помощью которого можно чертить параболу. Для этого к вершине острого угла чертёжного треугольника нужно укрепить нить длиной, равной катету. Второй конец нити с помощью кнопки укрепить на бумаге. Ещё понадобиться линейка и карандаш. [4]

Зафиксировав положение линейки, заставим другой катет скользить по линейке. Карандаш, прижатый к первому катету так, чтобы нить оставалась в натяжении, будет рисовать параболу. Это отражено на фотографии (рис.8).

Построение параболы по заданному фокусу и директрисе.

Квадратичную параболу можно рассматривать не только как график функции, но и как геометрическое место точек равноудаленных от заданной прямой (она называется директрисой) и заданной точки (фокуса).

Пусть задана директриса АВ и фокус точка F (рис.9).

Через фокус F проведем ось параболы перпендикулярно директрисе АВ. Получим точку С. Отрезок СF делим пополам, получим точку D – вершину параболы. От точки D на оси по направлению к фокусу (т.е. вниз) откладываем несколько произвольных отрезков 1-2, 2-3, 3-4 и т.д. Через точки 1, 2, 3, 4 . проводим прямые, параллельные директрисе АВ. Приняв за центр точку F радиусом R 1 = 1C делаем засечки 1 1 и 1 2 на параллельной прямой, проведенной через точку 1.

Радиусом R 2 = 2C из точки F делаем засечки 2 1 и 2 2 на прямой, проведенной через точку 2 и так далее. Через полученные точки проводим плавную кривую – это и будет искомая парабола.

Читайте также:  Эппл вотч 1 поколения

(если уравнение не приведенное его легко привести, разделив обе части на а ):

Таким образом, найдены две симметричные относительно оси параболы точки параболы. Найдя абсциссу середины отрезка АВ, мы тем самым найдем абсциссу вершины параболы х ВЕРШИНЫ и уравнение оси симметрии х = х ВЕРШИНЫ . Зададим абсциссы нескольких точек, например, правее вершины параболы, найдем соответствующие им ординаты, отметим точки в системе координат и начертим симметричные им. Соединим отмеченные точки плавной линией. График построен. [5]

Если же при вычислении абсциссы точки В она совпала с абсциссой точки А, значит это абсцисса вершины параболы.

Пример. Построить график функции y=2x 2 –4x + 1.Выберем точку параболы А с абсциссой 3, т.е. х А = 3, тогда y A = 2 2 –4 3 + 1 = 18 – 12 + 1 = 7.

Пусть точка В, принадлежащая параболе и симметричная точке А, имеет абсциссу х В = …, а y B = 7.

Найдем х В из уравнения:

7 = 2х 2 – 4х В + 1

2х В 2 – 2х В – 6 = : 2

Х В 2 – 2х В – 3 = 0

Т.к. один корень этого уравнения равен х А = 3, то по теореме
Виета имеем х А х В = 3, т.е. 3х В = 3, х В = 1.

Ответ

Проверено экспертом

а) По определению: параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.

Пусть М(х;у)– любая точка параболы.

Возводим в квадрат и преобразовываем

y² — 10y + 25 — y² — 4y — 4 = (x–4)²,

Из задания известно, что параметр р = -5 — 2 = -7.

Получим уравнение параболы (x–4)² = -2*7(y — (3/2)).

О т в е т. (x–4)² = –2*7(y–(3/2)) это каноническое уравнение.

Можно выразить относительно у и получим уравнение:

x² — 8x + 16 = -14y + 21.

y = -(1/14)x² + (8/14)x + (5/14) или y = -(1/14)x² + (4/7)x + (5/14).

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: $ε =frac$, где точка $M_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$. Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую.
  2. Упростите полученное выражение.
  3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

Приводим в форму квадрата:

Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

  • Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
  • Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = frac<2x>$, следовательно, в нашем случае $p = frac<1><2>$.
  • Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -frac<1><4>cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3frac<1><4>$.
  • Задай вопрос специалистам и получи
    ответ уже через 15 минут!

    Ссылка на основную публикацию
    Удаление последнего элемента списка
    Введение. Основные операции О дносвязный список – структура данных, в которой каждый элемент (узел) хранит информацию, а также ссылку на...
    Телефон самсунг с хорошей камерой недорогой
    Если вы ищете лучший телефон Samsung, тогда рейтинг поможет разобраться в их различиях. Посмотрите какой смартфон лучшие купить из всех...
    Телефон перестал заряжаться быстрой зарядкой
    Наверняка многие сталкивались с тем, что смартфон ни с того ни с сего перестаёт заряжаться. Другая распространённая беда — слишком...
    Удаление дубликатов фотографий на русском бесплатно
    Здравствуйте Уважаемый Друг. У каждого из нас на компьютере хранится большое количество различных фотографий изображений и тому подобных картинок. Парой...
    Adblock detector