Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

Как найти?

Постановка задачи

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ F(x,y,z) = 0 $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:

$$ F’_x igg |_M (x-x_0) + F’_y igg |_M (y-y_0) + F’_z igg |_M (z-z_0) = 0 $$

Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:

  1. Находим частные производные $ F’_x, F’_y, F’_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
  2. Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений

Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.

Примеры решений

Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде:

$$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 — z $$

Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = 2x $$ $$ F’_y = 2y $$ $$ F’_z = -1 $$

Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $:

$$ F’_x Big |_M = F’_x(1,-2,5) = 2 cdot 1 = 2 $$

$$ F’_y Big |_M = F’_y (1,-2,5) = 2 cdot (-2) = -4 $$

$$ F’_z Big |_M = F’_z (1,-2,5) = -1 $$

Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости:

Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости:

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

$$ 2x — 4y — z — 5 = 0 $$

Пример 1
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = x^2 + y^2 $ в точке $ M(1,-2,5) $
Решение
Ответ

Записываем поверхность в виде: $$ F = e^ — z $$

Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $:

$$ F’_x = e^ cdot (xcos y)’_x = cos y e^ $$

$$ F’_y = e^ cdot (xcos y)’_y = -xsin y e^ $$

Вычисляем значения производных в точке $ M(1,pi,frac<1>) $:

$$ F’_x Big |_M = F’_x (1,pi,frac<1>) = cos pi cdot e^ <1 cdot cos pi>= -1 cdot e^ <(-1)>= -e^ <-1>$$

$$ F’_y Big |_M = F’_y (1,pi, frac<1>) = -1 cdot sin pi cdot e^ <1 cdot cos pi>= -1 cdot 0 cdot e^1 = 0 $$

Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные:

$$ -e^<-1>(x-1) + 0 cdot (y-pi) + (-1) cdot (z-frac<1>) = 0 $$

Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости:

Используя вторую формулу находим уравнение нормали к поверхности:

Умножим уравнение на дробь $ frac<1> <-e>$:

1. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Определение.Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если – дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности имеет вид

(5)

Уравнения нормали имеют вид

. (6)

Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

2. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Пусть уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме и . Тогда соответствующие уравнения будут иметь такой вид:

– уравнение касательной плоскости и

.

– уравнение нормали к поверхности.

Пример 3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой , .

Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив и в уравнение поверхности: . Таким образом, точка касания .

Дата добавления: 2015-06-04 ; Просмотров: 2342 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания.

Решение задач, возникающих при проектировании и конструировании поверхностей-оболочек, требует проведения касательных плоскостей и нормалей к поверхности. При построении на проекционном чертеже очерков поверхностей по заданному направлению проецирования, при определении контуров собственных теней также необходимо строить касательные плоскости к поверхности. Построение касательной плоскости к поверхности представляет частный случай пересечения поверхности плоскостью.

Рисунок 123. Плоскость касательная поверхности

Пример 2
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = e^ $ в точке $ M(1,pi, frac<1>) $
Решение
Читайте также:  Как скаченную музыку перенести в папку

Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью.

Плоскость α (рис.123), представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.

Любая кривая поверхности, проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α .

Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхности, например вершина конической поверхности.

Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке.

В зависимости от вида поверхности, касательная плоскость может иметь с поверхностью как одну общую точку, так и множество точек. В зависимости от того, с каким случаем касания, мы имеем дело, точки, принадлежащие поверхности подразделяют на эллиптические, параболические и гиперболические:

Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости (рис.123). Такие точки называются эллиптическими.

В случае проведения касательной плоскости к торсовой поверхности, образованной непрерывным перемещением касательной прямой к некоторой пространственной кривой линии (частный случай — коническая поверхность), плоскость будет касаться поверхности по прямой линии – образующей. Точки, принадлежащие этой образующей, называются параболическими (рис.124).

Рисунок 124. Параболические точки касания

Точки поверхности, в которых касательная плоскость пересекает поверхность, называют гиперболическими (рис.125). Гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность.

Читайте также:  Could not connect to mysql что делать

Рисунок 125. Гиперболические точки касания

Задание касательной плоскости на эпюре Монжа

Так как плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, то для построения касательной плоскости к поверхности в данной точке, достаточно через эту точку провести две линии принадлежащие поверхности и к каждой из них провести касательные в заданной точке.

Касательной прямой к поверхности называется прямая, касательная к какой-либо кривой принадлежащей поверхности.

Рассмотрим на примере (рис.126) построение касательной плоскости к параболоиду вращения Ф в точке М.

Рисунок 126. Построение касательной плоскости к параболоиду вращения

Для решения этой задачи через точку М проведем две кривые плоские линии n и m принадлежащие поверхности Ф. Линия n — окружность, лежащая в горизонтальной плоскости уровня проведенной через точку М, линия m – парабола, лежащая в горизонтально проецирующей плоскости проведенной через вершину параболоида и точку М. Чтобы построить касательную плоскость достаточно провести к данным линиям касательные.

Касательная к плоской кривой линии лежит в одной плоскости с ней. Так как линия n лежит в горизонтальной плоскости, то на плоскость П1 она проецируется в натуральную величину n1, что позволяет сразу построить горизонтальную проекцию касательной к ней t1 1 . На плоскость П2 — окружность проецируется в прямую n2, а фронтальная проекция касательной t2 1 будет с ней совпадать.

Линия m лежит в горизонтально проецирующей плоскости, поэтому её горизонтальная проекция m1 – прямая, определяющая и горизонтальную проекцию касательной t1 2 .

На плоскость П2 парабола проецируется с искажением m2, поэтому для построения касательной, повернем поверхность Ф вокруг оси, до совмещения плоскости параболы с фронтальной плоскостью проекций, проекция точки М2 при этом переместиться в положение точки М2 * .

Через эту точку проведем касательную t2 2* к очерку параболоида. И обратным вращением находим проекцию касательной t2 2 .

Читайте также:  Приложение kodi android инструкция по использованию

Две пересекающиеся в точке М2 прямые t2 1 и t2 2 определяют положение фронтальной проекции касательной плоскости α 2, а прямые t1 1 и t1 2 – горизонтальную проекцию касательной плоскость α 1.

Ссылка на основную публикацию
Удаление последнего элемента списка
Введение. Основные операции О дносвязный список – структура данных, в которой каждый элемент (узел) хранит информацию, а также ссылку на...
Телефон самсунг с хорошей камерой недорогой
Если вы ищете лучший телефон Samsung, тогда рейтинг поможет разобраться в их различиях. Посмотрите какой смартфон лучшие купить из всех...
Телефон перестал заряжаться быстрой зарядкой
Наверняка многие сталкивались с тем, что смартфон ни с того ни с сего перестаёт заряжаться. Другая распространённая беда — слишком...
Удаление дубликатов фотографий на русском бесплатно
Здравствуйте Уважаемый Друг. У каждого из нас на компьютере хранится большое количество различных фотографий изображений и тому подобных картинок. Парой...
Adblock detector