Уравнение биссектрисы угла треугольника

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0.

Расстояние от точки (x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

Это равенство можно записать в виде

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:

Ответ

Проверено экспертом

Даны вершины треугольника АВС: А(4; 6), В (-4; 0), С (-1 ;- 4).

Находим уравнения прямых АВ и ВС (с общей вершиной В).

АВ: (х — 4)/(-8) = (у- 6)/(-6) сократим знаменатели не -2.

ВС: находим аналогично 4х + 3у + 16 = 0.

Уравнение двух биссектрис (пары смежных углов) находим в виде:

Так как знаменатели равны, то приравниваем числители.

Дан треугольник с вершинами А(0;-4) В(3;0) С(0;6). Найти расстояние вершины С от биссектрисы угла А. Возникает проблема, когда составляю уравнение через условие что углы САМ и МАВ равны, где М — точка пересечения биссектрисы с СВ. Использую формулу tg =(A1B2-A2B1)/(A!A2-B1B2). Попарно нахожу углы между 1)АС и АМ 2)АВ и АМ. Потом и приравниваю. Выражаю коэффициент при х через коэффициент при у в уравнении биссектрисы. Оно то получается, но не правильное, это даже с рисунка видно(+-х-у-4=0). Только начал изучать аналитическую геометрию и очень хочу разобраться. Помогите пожалуйста. Заранее большое спасибо.

задан 3 Окт ’16 13:18

2 ответа

Возня с тангенсами — не самое приятное занятие. (а в Вашем описании действий я так и не разобрался) .

Если поискать по запросам уравнение биссектрисы, то легко найти способ, основанный на знании, что диагональ ромба — это биссектриса угла. то есть направляющий вектор биссектрисы угла $%A$% можно найти по формуле $$ ar=frac<overline><|overline|>+frac<overline><|overline|>, $$ по которому после избавления от дробных значений координат можно написать каноническое уравнение биссектрисы.

Другой вариант основан на определении, что биссектриса — это прямая, равноудалённая от сторон угла. Если у Вас есть две прямые, заданные уравнением общего вида $%a_kx+b_ky+c_k=0$%, то уравнение двух биссектрис (пары смежных углов) можно находить в виде $$ frac<sqrt> = pmfrac<sqrt>,. $$ Для выбора нужной биссектрисы можно использовать условие, что точки на сторонах угла лежат по разные стороны. то есть при подстановке в уравнение общего вида дадут значения разных знаков.

Ну, и про тангенсы. Если найти $% extangle OAB=frac<3><4>$% и $% extangle OAB=frac<3><2>$%, то требуется найти тангенс $%frac<angle OAB+angle OAC><2>$%. можно сначала найти $% ext(angle OAB+angle OAB)$%. а потом находить тангенс половинного угла, решая квадратное уравнение и выбирая корень нужного знака.