Средняя скорость через интеграл

Средняя скорость через интеграл

Задачи динамики частицы бывают двух типов. Первый — задано движение частицы, и нужно найти действующую силу. Здесь нет особых трудностей: по заданному движению находим ускорение, и второй закон Ньютона определяет силу. Второй — задана сила, действующая на частицу, и нужно определить движение частицы, т. е. в конечном итоге найти координаты как функции времени. Эти задачи гораздо сложнее, и их решение требует решения дифференциальных уравнений. Некоторые задачи такого рода будут рассмотрены ниже.

Второй закон Ньютона приводит к дифференциальным уравнениям вида

С математической точки зрения механика частицы сводится к теории дифференциальных уравнений второго порядка приведенного вида. Возникающие здесь проблемы могут быть весьма непростыми. Мы рассмотрим несколько сравнительно простых случаев, для которых имеются стандартные процедуры, всегда приводящие к успеху.

1) Движение частицы под действием силы, зависящей от времени.

Пусть — заданная функция времени. Второй закон Ньютона дает уравнение

Перепишем его в виде

Интегрируя это равенство (формально — приписывая знак интеграла слева и справа), получим

Величина, стоящая слева, — изменение импульса за время /, интеграл в правой части в принципе вычисляется (штрихи у переменной t — дань математической аккуратности, для отличия верхнего предела интегрирования от переменной интегрирования). Формула (2.134) определяет вектор скорости в любой момент времени. Далее:

Под интегралом в правой части стоит известная (из (2.134)) функция времени, интеграл берется, и формула (2.136) определяет положение частицы в любой момент времени.

Внимание! Написанные уравнения*— векторные. Умножая их скалярно на постоянные базисные векторы /, у, к и помня, что для

любого вектора / а = дх, мы вместо каждого векторного уравнения получим три скалярных.

Задача 2.29. На частицу действует сила F(i) = FQ sin со/. Как будет двигаться частица?

Решение. Формула (2.134) дает

Здесь v(0) — значение скорости при / = 0 (начальная скорость). Если в момент «включения» силы частица покоилась, эта скорость равна нулю. Полученный результат не очевиден. Действующая сила периодически меняет знак и величину, но скорость знака не меняет! Далее, формула (2.136) дает

Здесь г(0) — положение частицы в начальный момент. Полученное решение довольно любопытно. Видим, что частица дрейфует с постоянной скоростью в направлении вектора V — у(0) + Р/(пко), и на это движение накладывается гармоническое колебание с амплитудой А = Р/(ппо 2 ).

На электрон в поле электромагнитной волны действует сила

Р = еЁ бш со/. Посмотрим, как ведет себя электрон в поле обычной радиоволны с напряженностью поля ?= 0,1 В/м и частотой 1000 кГц. Для скорости дрейфа получим

Это достаточно большая скорость. Амплитуда колебаний будет А = 0,5 мм. Вокруг читателя «роится» огромное количество таких электронов в любой момент времени.

2) Движение частицы под действием силы, зависящей от скорости. Одномерное движение.

Одномерное движение — это движение частицы по заданной траектории (пример — трамвай на рельсах).

Пусть частица движется по заданной кривой. Положение частицы на кривой задается длиной дуги 5, отсчитываемой от некоторой точки. Второй закон Ньютона дает уравнение

где Т 7 — тангенциальная сила (см. формулу (2.43)). Будем считать, что /’= Р(у) — заданная функция скорости. Преобразуем уравнение (2.137):

Интегрируя это равенство, полу 1 !им

Поскольку Г(у) — известная функция, интеграл в левой части равенства (2.139) берется и дает некоторую функцию скорости /(у). Равенство / (у) = 1 неявно определяет скорость как функцию времени. Разрешая это равенство относительно у, найдем функцию у = у(/). Далее пишем

Формула (2.140) дает положение точки в любой момент времени, и проблема полностью решена (должно быть понятно, что если мы знаем положение частицы в любой момент времени, то можем ответить на все вопросы относительно движения частицы).

Задача 2.30. Мяч падает с высоты Н с нулевой начальной скоростью. Сила сопротивления со стороны воздуха пропорциональна скорости. Как будет двигаться мяч?

Решение. На мяч действует сила Р = т? — аV, второе слагаемое представляет силу сопротивления, величина а зависит от размеров мяча. Отсутствие начальной скорости гарантирует падение по вертикали (при отсутствии ветра), так что мы имеем дело с одномерным движением. Пусть ось х направлена вертикально вниз. Второй закон Ньютона дает уравнение

Это уравнение типа (2.137). Уравнение (2.139) дает

Интеграл берется (сводится к табличному), и мы получаем Разрешая это равенство относительно скорости, получим

Видим, что скорость со временем растет и стремится к постоянному значению Утах = mg/a., причем это значение достигается тем быстрее, чем больше а.

Для координаты х равенство (2.140) дает

Выражение получилось громоздкое, но смысл его простой: первое слагаемое в правой части соответствует движению с постоянной скоростью, а второе дает поправку, существенную для начального периода ускорения.

Это точное решение. Для того чтобы оценить влияние сопротивления на режим падения в начальной стадии, получим приближенное решение. Известно, что при малых х справедливо разложение

С помощью этой формулы для скорости получим

Видим, что начальное ускорение равно g, но оно убывает линейно по времени.

Падение капель дождя происходит по найденным формулам. Скорость капель у поверхности земли порядка нескольких метров в секунду (это ясно всякому, кто наблюдал дождь из окна движущегося автомобиля). Попробуем оценить величину а. Пусть капля диаметром 3 мм имеет скорость 5 м/с. Это дает для а величину 0,00014 кг/с. Время достижения максимальной скорости порядка т/а = v/g = 0,5 с. На рис. 2.3 показан график функции /(/) = 5(1 — ехр(-2/)), представляющей скорость падающей капли в первые 3 секунды падения. По вертикальной оси — скорость в м/с.

Читайте также:  Исходные объекты не компланарны в автокаде

Коэффициент а пропорционален радиусу капли, а масса — кубу радиуса. Поэтому чем меньше капля, тем медленнее она падает. Капли тумана висят практически неподвижно.

3) Движение частицы под действием силы, зависящей от координаты. Одномерное движение.

Пусть в уравнении

где F— тангенциальная сила, сила зависит от координаты: F= F(s). Нам нужно решить уравнение

Мы можем, конечно, написать

но толку от этого не будет: хотя сила и зависит от времени через переменную s, эта зависимость неизвестна, поэтому интеграл в правой части не берется. Уравнение (2.145) решается с помощью следующего трюка. Умножим обе части этого уравнения на скорость v:

Левая часть полученного уравнения есть производная по времени , а правая часть может быть представлена в виде

Такое представление всегда возможно: функция W(s) есть просто первообразная функции F(s). Уравнение, таким образом, принимает вид

Равенство (2.146) утверждает, что величина, стоящая в скобках, не меняется со временем, т. с. постоянна. Обозначая эту постоянную буквой Е, получаем

Обратите внимание. Скорость частицы v со временем меняется, координата s также меняется, но конструкция (2.147) не меняется! Это, конечно, важный математический факт (математик скажет, что равенство (2.147) дает первый интеграл уравнения (2.145)), но это есть также важный физический факт.

Если сила зависит от координаты, имеет место закон сохранения механической энергии. Функция W (s) представляет потенциальную энергию частицы. (Полезно сравнить полученный результат с тем, что мы обсуждали в п. 2.2.5.)

Формула (2.147) определяет скорость как функцию координаты:

Далее можно найти координату как функцию времени s = s(t) так, как это было показано в п. 1.2.5.

Задача 2.31. Частица массой т подвешена на нити длиной /. Частицу отклонили на угол а от вертикали и отпустили без начальной скорости (рис. 2.4). Как будет двигаться частица? (Такое устройство называется математическим маятником.)

Решение. При указанных условиях частица не выходит из вертикальной плоскости и ее траектория — дуга окружности радиусом / (считаем, что а 2 х. Этой силе соответствует потенциальная энергия

Закон сохранения энергии дает равенство

(Было учтено, что в начальный момент частица находится в точке с координатой х и имеет нулевую скорость.) Отсюда для скорости получаем

Далее имеем

Интеграл берется, и в результате получаем

Разрешая это равенство относительно х, окончательно находим

Для малых времен, разлагая экспоненту в ряд, получим что можно было ожидать.

В заключение этого пункта отметим, что распространение компьютеров резко снизило остроту проблем, связанных с решением дифференциальных уравнений. Во многих случаях гораздо проще и целесообразнее получить численное решение, нежели исхитряться в попытках получить аналитическое. В качестве примера предлагается следующая задача.

Задача 2.33. С Северного полюса вертикально вверх стартует ракета с первой космической скоростью. Как будет двигаться ракета?

Решение. При вертикальном старте с Северного полюса ракета движется по прямой, и мы имеем дело с одномерным движением под действием силы, зависящей от координаты. Однако попытка получить аналитическое решение по изложенной выше программе наталкивается на трудности (попробуйте ее провести). Получим численное решение. Здесь также есть свои тонкости.

Пусть г — расстояние от центра Земли, скорость ракеты будет V = с!г/с1г. Второй закон Ньютона дает уравнение

Учитывая, что (7Л/ = gR 2 y где Я — радиус Земли (см. п. 2.2.6), равенство (2.160) перепишем в виде

При численном интегрировании удобно вводить безразмерные переменные. Одна появилась сама собой — положим у = г/Я. Уравнение (2.161) примет вид

Если теперь положитьокончательно получим

Здесь уже переменные у их безразмерные. Для скорости получим

Величина называется первой космической скорос

тью. Решение уравнения (2.162) при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = 1, чему соответствует старт с поверхности Земли с первой космической скоростью, приведено на рис. 2.6. Сплошная кривая дает расстояние г, пунктирная — скорость V. Значение этих функций находилось в 100 точках на интервале х е [0, 5].

Из графика видно, что высота подъема равна радиусу Земли (что можно было найти и аналитически, см. задачу 2.19), и достигается эта высота в момент времени

Содержание:

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения " open=" υ = ∆ r ∆ t ; " open=" υ ↑ ↑ ∆ r .

Рисунок 1 . Средняя скорость сонаправлена перемещению

Модуль средней скорости по пути равняется " open=" υ = S ∆ t .

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость " open=" υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0 :

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение d r совпадает с бесконечно малым элементом траектории d s .

Рисунок 2 . Вектор мгновенной скорости υ

Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

Читайте также:  Есть ли в пепси кофеин

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора υ примет вид:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r = r q 1 , q 2 , q 3 , тогда значение скорости запишется как:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Рисунок 3 . Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что q 1 = r ; q 2 = φ ; q 3 = θ , то получим υ , представленную в такой форме:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , где υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ ( t ) d t

Дан закон прямолинейного движения точки x ( t ) = 0 , 15 t 2 — 2 t + 8 . Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 0 . 3 t — 2 ; υ ( 10 ) = 0 . 3 × 10 — 2 = 1 м / с .

Ответ: 1 м / с .

Движение материальной точки задается уравнением x = 4 t — 0 , 05 t 2 . Вычислить момент времени t о с т , когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость " open=" υ .

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 4 — 0 , 1 t .

4 — 0 , 1 t = 0 ; t о с т = 40 с ; υ 0 = υ ( 0 ) = 4 ; " open=" υ = ∆ υ ∆ t = 0 — 4 40 — 0 = 0 , 1 м / с .

Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0 , 1 м / с .

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На прошлых уроках мы рассматривали равномерное движение. На этом уроке будет рассмотрено движение с изменяющейся скоростью, то есть неравномерное движение. Также мы выучим характеристики неравномерного движения – среднюю скорость и мгновенную скорость.

Введение

Рассмотрим некоторые виды движения:

— колебание груза на пружинном маятнике (рис. 1);

Рис. 1. Колебание груза на пружинном маятнике (Источник)

— скатывание тела по наклонной плоскости (рис. 2);

Рис. 2. Скатывание тела по наклонной плоскости (Источник)

— свободное падение (рис. 3).

Рис. 3. Свободное падение (Источник)

Все эти три вида движения не являются равномерными, то есть в них изменяется скорость. На этом уроке мы рассмотрим неравномерное движение.

Неравномерное движение

Равномерное движение – механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит одинаковое расстояние (рис. 4).

Рис. 4. Равномерное движение

Неравномерным называется движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит неравные пути.

Рис. 5. Неравномерное движение

Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. При неравномерном движении скорость тела меняется, следовательно, необходимо научиться описывать изменение скорости тела. Для этого вводятся два понятия: средняя скорость и мгновенная скорость.

Средняя скорость

Факт изменения скорости тела при неравномерном движении не всегда необходимо учитывать, при рассмотрении движении тела на большом участке пути в целом (нам не важна скорость в каждый момент времени) удобно ввести понятие средней скорости.

Например, делегация школьников добирается из Новосибирска в Сочи поездом. Расстояние между этими городами по железной дороге составляет приблизительно 3300 км. Скорость поезда, когда он только выехал из Новосибирска составляла , значит ли это, что посередине пути скорость была такой же, а на подъезду к Сочи[М1] ? Можно ли, имея только эти данные, утверждать, что время движения составит (рис. 6). Конечно нет, так как жители Новосибирска знают, что до Сочи ехать приблизительно 84 ч.

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Когда рассматривается движение тела на большом участке пути в целом, удобнее ввести понятие средней скорости.

Средней скоростью называют отношение полного перемещения, которое совершило тело, ко времени, за которое совершено это перемещение (рис. 7).

Рис. 7. Средняя скорость

Данное определение не всегда является удобным. Например, спортсмен пробегает 400 м – ровно один круг. Перемещение спортсмена равно 0 (рис. 8), однако мы понимаем, что его средняя скорость нулю равна быть не может.

Рис. 8. Перемещение равно 0

На практике чаще всего используется понятие средней путевой скорости.

Средняя путевая скорость – это отношение полного пути, пройденного телом, ко времени, за которое путь пройден (рис. 9).

Рис. 9. Средняя путевая скорость

Существует еще одно определение средней скорости.

Средняя скорость – это та скорость, с которой должно двигаться тело равномерно, чтобы пройти данное расстояние за то же время, за которое оно его прошло, двигаясь неравномерно.

Из курса математики нам известно, что такое среднее арифметическое. Для чисел 10 и 36 оно будет равно:

Для того чтобы узнать возможность использования этой формулы для нахождения средней скорости, решим следующую задачу.

Велосипедист поднимается со скоростью 10 км/ч на склон, затрачивая на это 0,5 часа. Далее со скоростью 36 км/ч спускается вниз за 10 минут. Найдите среднюю скорость велосипедиста (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Дано:; ; ;

Найти:

Так как единица измерения данных скоростей – км/ч, то и среднюю скорость найдем в км/ч. Следовательно, данные задачи не будем переводить в СИ. Переведем в часы.

Читайте также:  Русское лото лохотрон или правда

Средняя скорость равна:

Полный путь () состоит из пути подъема на склон () и спуска со склона ():

Путь подъема на склон равен:

Путь спуска со склона равен:

Время, за которое пройден полный путь, равно:

Ответ:.

Исходя из ответа задачи, видим, что применять формулу среднего арифметического для вычисления средней скорости нельзя.

Не всегда понятие средней скорости полезно для решения главной задачи механики. Возвращаясь к задаче про поезд, нельзя утверждать, что если средняя скорость на всем пути поезда равна , то через 5 часов он будет находиться на расстоянии от Новосибирска.

Мгновенная скорость

Среднюю скорость, измеренную за бесконечно малый промежуток времени, называют мгновенной скоростью тела (для примера: спидометр автомобиля (рис. 11) показывает мгновенную скорость).

Рис. 11. Спидометр автомобиля показывает мгновенную скорость

Существует еще одно определение мгновенной скорости.

Мгновенная скорость – скорость движения тела в данный момент времени, скорость тела в данной точке траектории (рис. 12).

Рис. 12. Мгновенная скорость

Для того чтобы лучше понять данное определение, рассмотрим пример.

Пусть автомобиль движется прямолинейно по участку шоссе. У нас есть график зависимости проекции перемещения от времени для данного движения (рис. 13), проанализируем данный график.

Рис. 13. График зависимости проекции перемещения от времени

На графике видно, что скорость автомобиля не постоянная. Допустим, необходимо найти мгновенную скорость автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения (в точке A). Пользуясь определением мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от до . Для этого рассмотрим фрагмент данного графика (рис. 14).

Рис. 14. График зависимости проекции перемещения от времени

Рассчитываем среднюю скорость на данном участке времени:

Для того чтобы проверить правильность нахождения мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от до , для этого рассмотрим фрагмент графика (рис. 15).

Рис. 15. График зависимости проекции перемещения от времени

Рассчитываем среднюю скорость на данном участке времени:

Получили два значения мгновенной скорости автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения. Точнее будет то значение, где интервал времени меньше, то есть . Если уменьшать рассматриваемый интервал времени сильнее, то мгновенная скорость автомобиля в точке A будет определяться более точно.

Мгновенная скорость – это векторная величина. Поэтому, кроме ее нахождения (нахождения ее модуля), необходимо знать, как она направлена.

(при ) – мгновенная скорость

Направление мгновенной скорости совпадает с направлением перемещения тела.

Если тело движется криволинейно, то мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке (рис. 16).

Рис. 16. Направление мгновенной скорости

Задания для усвоения понятия «мгновенная скорость»

Может ли мгновенная скорость () изменяться только по направлению, не изменяясь по модулю?

Для решения рассмотрим следующий пример. Тело движется по криволинейной траектории (рис. 17). Отметим на траектории движения точку A и точку B. Отметим направление мгновенной скорости в этих точках (мгновенная скорость направлена по касательной к точке траектории). Пусть скорости и одинаковы по модулю и равны 5 м/с.

Рис. 17. Иллюстрация к задаче

Написать, что нельзя. Скорость – векторная величина, то есть важно не только числовое значение, но и направление.

Если бы , то можно было бы записать, что , но, найдя вектор разности , видим, что он не равен 0 (рис. 18). Следовательно, , то есть мгновенная скорость может быть равна по модулю, но отличаться по направлению.

Может ли мгновенная скорость меняться только по модулю, не меняясь по направлению?

Рис. 18. Иллюстрация к задаче

На рисунке 10 видно, что в точке A и в точке B мгновенная скорость направлена одинаково. Если тело движется равноускоренно, то .

Итоги урока

На данном уроке мы приступили к изучению неравномерного движения, то есть движения с изменяющейся скоростью. Характеристиками неравномерного движения являются средняя и мгновенная скорости. Понятие о средней скорости основано на мысленной замене неравномерного движения равномерным. Иногда понятие средней скорости (как мы увидели) является очень удобным, но для решения главной задачи механики оно не подходит. Поэтому вводится понятие мгновенной скорости.

  1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10–11. – М.: Дрофа, 2006.
  3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
  4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «School-collection.edu.ru» (Источник).
  2. Интернет-портал «School-collection.edu.ru» (Источник).
  3. Интернет-портал «Virtulab.net» (Источник).
  1. Вопросы (1–3, 5) в конце параграфа 9 (стр. 24); Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы)
  2. Можно ли, зная среднюю скорость за определенный промежуток времени, найти перемещение, совершенное телом за любую часть этого промежутка?
  3. Чем отличается мгновенная скорость при равномерном прямолинейном движении от мгновенной скорости при неравномерном движении?
  4. Во время езды на автомобиле через каждую минуту снимались показания спидометра. Можно ли по этим данным определить среднюю скорость движения автомобиля?
  5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км в час, вторую треть – со скоростью 16 км в час, а последнюю треть – со скоростью 24 км в час. Найдите среднюю скорость велосипеда на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/час

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Ссылка на основную публикацию
Смартфоны с ик портом на андроид 2018
ТОП-15 телефонов с ИК-портом Возможно, многие помнят первые модели телефонов с цветным экраном, которые ещё не имели технологию блютуза, не...
Сколько весит штампованный диск на 13 ваз
Для отправки дисков в другие регионы России транспортным компаниям для подсчета стоимости необходима информация о весе и объеме товара. Здесь...
Сколько заряжает лягушка по времени
Лягушка-квакушка Дорогие читатели, сегодня мы с вами разберём вопрос о том, как заряжать «лягушкой» батарею от телефона. Но прежде всего...
Создание штриховки в автокаде
Как в Автокаде сделать штриховку? Данная функция часто используется при оформлении чертежей в AutoCAD. На чертежах штрихуют разрезы, сечения и...
Adblock detector