Преобразование гильберта физический смысл

Преобразование гильберта физический смысл

Для адекватного математического представления сигналов с ограниченным спектром во временной области было введено понятие «аналитический сигнал», основанное на использовании преобразования Д. Гильберта.

Аналитический сигнал. С помощью формулы Эйлера представим гармоническое косинусоидальное колебание единичной амплитуды суммой двух комплексно-сопряженных функций: cosco? = 0,5(e ;to/ + e

Возможность такого представления позволяет и произвольный физический сигнал u(t) с известной спектральной плотностью 5(со) записать (через обратное преобразование Фурье) в виде суммы двух составляющих, каждая из которых содержит либо только положительные, либо только отрицательные частоты:

В теории сигналов функцию

из представления (2.132) стали называть аналитическим сигналом, отвечающим вещественному (физическому) сигналу u(t).

Заметим, что аналитический сигнал zu(t), описываемый формулой (2.133), есть комплексный сигнал, сформированный из вещественного сигнала u(t).

Теперь проведем некоторые преобразования первого из интегралов в правой части формулы (2.132). Заменив переменную Q = -со и проделав несложные выкладки в виде обратного преобразования Фурье, приходим к равенству

где z*u(t) — сигнал, комплексно-сопряженный с аналитическим сигналом zw(?).

Нетрудно заметить, что формула (2.132) устанавливает следующую связь между физическим u(t) и аналитическим zu(t) сигналами:

Преобразования Гильберта. Еще более упростить анализ узкополосных сигналов позволяют преобразования Гильберта. Представим произвольный сигнал u(t) как произведение двух функций (по формуле (2.121)):

т.е. выделим его амплитудную огибающую U(i) и полную фазу |/(?). Способов сделать это очень много, поскольку одной функции u(t) необходимо поставить в соответствие набор из двух функций U(t) и i(t). Однако такое представление должно удовлетворять нескольким ограничениям по огибающей и фазе:

  • • абсолютное значение (модуль) сигнала u(t) в любой момент времени не превышает значений огибающей: U(t) > u(t);
  • • касательные, проведенные к кривым U(t) и u(t) в тех точках, где предыдущее неравенство превращается в равенство, совпадают, что означает равенство их производных;
  • • малым изменениям u(t) соответствуют малые изменения U(t);
  • • необходимо, чтобы для анализируемого гармонического сигнала обязательно выполнялось равенство комплексной (2.124) и физической огибающих Uu(t)= | Uu(t) | = U и полная фаза |/(?) = соt + ср(?);
  • • полная фаза и мгновенная частота не должны зависеть от мощности сигнала, т.е. со(?) = со.

Разумно требование, что полная фаза не должна меняться при умножении или делении сигнала на произвольный постоянный коэффициент. С учетом этих требований способ выделения амплитудной огибающей и полной фазы из произвольного сигнала оказывается единственным: эта операция производится с помощью преобразования Гильберта. Несложные вычисления по формуле (2.134) дают равенство u(t) = Rezw(?)-

Мнимую составляющую аналитического сигнала u(t) = Imzu(f) называют сопряженным по Гильберту сигналом (сопряженным сигналом) по отношению к физическому колебанию u

Физический сигнал u(t) и сопряженный ему сигнал ii(t) ортогональны:

где Т — период следования физического сигнала.

Действительную и мнимую части аналитического сигнала называют квадратурными составляющими.

Итак, аналитический сигнал можно представить через физический и сопряженный но Гильберту сигналы в виде суммы

Очевидно, что аналитический сигнал на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось равна исходному сигналу u(t).

Согласно прямому преобразованию Гильберта сопряженный сигнал связан с физическим следующим уравнением:

Обратное преобразование Гильберта от сопряженного сигнала u(t) дает физический сигнал

Символическая их запись имеет вид

С помощью физического и сопряженного по Гильберту сигналов легко определить огибающую Uu(t), полную фазу yu(t) и мгновенную частоту сом(?) физического сигнала u(t):

Дифференцирование соотношения (2.138) после предварительного возведения в квадрат обеих его частей:

в точках соприкосновения, где Uu(t) = u(t) и u(t) = 0, дает равенство производных

т.е. в точках соприкосновения сигнал и его огибающая совпадают и имеют одинаковые скорости изменения. Отсюда и название огибающей для функции Uu(t).

Поскольку аналитический сигнал является комплексной функцией, на комплексной плоскости он отображается вектором, вращающимся против часовой стрелки с опорной частотой со; при этом его модуль и фазовый угол изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось комплексной плоскости в любой момент времени равна физическому сигналу u(t).

Смысл термина «аналитический сигнал» заключается в том, что при переходе к переменной t = т +jx функция zu(t) = zu(x + jx), определяемая в соответствии с формулой (2.133) интегралом

является аналитической функцией для всех х > 0.

Нетрудно заметить, что прямое преобразование Гильберта (2.136) представляет собой свертку сигнала u(t) и функции 1 /(тсt). Это означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами (такие системы описаны в гл. 4). Из этого следует, что можно легко определить комплексный коэффициент передачи преобразования Гильберта

Из формулы (2.141) следует, что АЧХ преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой частоты, т.е. преобразование Гильберта не меняет амплитудных соотношений в спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляющую. Фазы всех спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на 90° (коэффициент j), в области отрицательных частот — увеличиваются на 90° (коэффициент -j). Можно показать, что результат преобразования Гильберта (2.136) есть реакция линейной системы с импульсной характеристикой 1 /(nt) при подаче на ее вход сигнала u(t).

Читайте также:  Изменяет сохраняемые данные 1с

Формально способ получения сопряженного сигнала с помощью прямого преобразования Гильберта (2.136) можно представить себе следующим образом. Исходное физическое колебание u(t) подается на вход некоторого устройства, которое осуществляет поворот фаз всех его спектральных составляющих на угол -90° в области положительных частот и на угол 90° в области отрицательных частот, не изменяя при этом их амплитды. По существу преобразователь Гильберта должен представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазовый сдвиг, равный 90°. Устройство, обладающее подобными свойствами, в теории связи называют квадратурным фильтром.

Определим сигнал, сопряженный с гармоническим колебанием u(t) = cos соt. Запишем выражение для аналитического сигнала.

Результаты можно получить непосредственно из формулы прямого преобразования Гильберта (2.136). Для этого, введя новую переменную х = т — t и осуществив несложные преобразования, запишем

Из курса математики известно, что

Тогда после подстановок этих значений получаем, что гармоническому колебанию u = cos со/ соответствует сопряженный по Гильберту сигнал u(t) = sin со/, проходящий через нуль тогда, когда значение физического сигнала максимальное.

Из полученных вычислений легко заметить, что прямое преобразование Гильберта обеспечивает необходимый выбор мнимой части комплексного сигнала для гармонического колебания u(t) = cos со/. Операция сдвигает все гармонические составляющие сигнала по фазе на ±п/2 и удаляет постоянную составляющую.

Если в соотношение (2.135) подставить физический и сопряженный сигналы, то для гармонического колебания u(t) = cos со/ аналитический сигнал равен

По аналогии с решенным примером нетрудно убедиться в том, что синусоидальному колебанию u(t) = sin со/ соответствует сопряженный сигнал вида u(t) = -cos со/.

Также можно записать и аналитический сигнал для данного колебания:

Если исходный физический сигнал состоит из суммы гармонических колебаний (без постоянной составляющей), т.е.

то сопряженный сигнал будет

Ряд (2.142) называется сопряженным ряду (2.143).

Задано простое гармоническое колебание единичной амплитуды u(t) = cos со/. Определим его огибающую, полную фазу и мгновенную частоту.

Огибающая исходного сигнала согласно формуле (2.138)

равна его амплитуде и не зависит от времени.

Полную фазу заданного сигнала определим по формуле (2.139):

а мгновенную частоту — но формуле (2.140):

Из примера 2.13 следует, что нахождение физической огибающей, полной фазы и мгновенной частоты гармонического сигнала с помощью преобразования Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представлениями о свойствах гармонических колебаний.

Ввод аналитического и сопряженного сигналов не позволяет получить каких-либо новых сведений о физическом сигнале u(t). Однако они значительно расширяют систематические методы исследования узкополосных процессов.

Спектральная плотность аналитического сигнала и комплексной огибающей. Сравненим амплитудные спектры аналитического сигнала и комплексной огибающей (рис. 2.59). Положим, что ^(со) — спектральная плотность физического сигнала u(t) (рис. 2.59, а). Введем функцию ZM(со), связанную с аналитическим сигналом zu(t) прямым преобразованием Фурье

и являющуюся спектральной плотностью аналитического сигнала.

Аналитический сигнал получают добавлением к вещественному сигналу u(t) сопряженной его части в виде преобразования Гильберта: zu(t) = u(t) + ju(t).

Обозначим через 5(со) спектральную плотность сопряженного сигнала u(t). Тогда в силу линейности прямого преобразования Фурье спектральная плотность аналитического сигнала запишется как сумма

Рис. 2.59. Амплитудные спектры:

а — вещественного сигнала; б — аналитического сигнала; в — комплексной огибающей

Учитывая, что преобразование Гильберта является линейным и его коэффициент передачи определяется формулой (2.141), находим

Равенство (2.144) выполняется тогда, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом:

Полученный результат (2.144) весьма интересен. В области положительных частот спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом дополнительного фазового сдвига в 90°, вносимого множителем j) складываются, давая удвоенный результат. В области же отрицательных частот эти спектры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. Таким образом, спектральная плотность аналитического сигнала равна удвоенному значению спектральной плотности физического сигнала и находится в области только положительных частот, т.е. оказывается односторонней (рис. 2.59, б).

Найдем спектральную плотность комплексной огибающей Yu(со) сигнала u(t). Для этого используем связь аналического сигнала zu(t) и комплексной

Итак, спектральная плотность комплексной огибающей представляет собой сдвинутую на со спектральную плотность аналитического сигнала. Спектр комплексной огибающей не обязательно симметричен относительно нулевой частоты.

Задан низкочастотный физический сигнал u(t) с равномерной спектральной плотностью 5 в полосе частот -сов 0, второе -со

Читайте также:  Вылетает мафия 2 после нескольких минут игры

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ РПЪЧПМСЕФ ТБЪМПЦЙФШ ЙУИПДОЩК РТПГЕУУ ОБ ДЧЕ УПУФБЧМСАЭЙЕ — БНРМЙФХДОХА Й ЖБЪПЧХА. у РТПУФЕКЫЙН РТЙНЕТПН ФБЛПЗП ТБЪМПЦЕОЙС НЩ ЧУФТЕЮБЕНУС РТЙ ЪБРЙУЙ ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ УЙОХУБ ЙМЙ ЛПУЙОХУБ , ЛПФПТБС ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС БНРМЙФХДПК — НБЛУЙНБМШОЩН ПФЛМПОЕОЙЕН ПФ ОХМЕЧПЗП ХТПЧОС, Й ЖБЪПК . жБЪБ СЧМСЕФУС БТЗХНЕОФПН ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ, ЛПФПТЩК ПРТЕДЕМСЕФ, УЛПМШЛП РЕТЙПДПЧ ЖХОЛГЙЙ ОБВМАДБЕФУС ПФ ОБЮБМШОПЗП НПНЕОФБ ЧТЕНЕОЙ Й ЛБЛПЧП ЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ Ч ДБООЩК НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ; — ОБЮБМШОБС ЖБЪБ, Ф.Е. ЖБЪБ Ч НПНЕОФ ЧТЕНЕОЙ . бНРМЙФХДБ ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ ОЕ НЕОСЕФУС ЧП ЧТЕНЕОЙ, Б ЖБЪБ МЙОЕКОП ТБУФЕФ У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН РТПРПТГЙПОБМШОПУФЙ , ЛПФПТЩК ОПУЙФ ОБЪЧБОЙЕ ЮБУФПФЩ (ТЙУ. 16). юБУФПФБ ПРТЕДЕМСЕФ ЮЙУМП РЕТЙПДПЧ (РПЧФПТЕОЙК ЪОБЮЕОЙК ЖХОЛГЙЙ) Ч ЕДЙОЙГХ ЧТЕНЕОЙ Й СЧМСЕФУС РПУФПСООПК ЧП ЧТЕНЕОЙ ЧЕМЙЮЙОПК. бНРМЙФХДБ Й ЖБЪБ ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ ПФТБЦБАФ ТБЪМЙЮОХА ЙОЖПТНБГЙА: БНРМЙФХДБ ПРЙУЩЧБЕФ ЬОЕТЗЙА, Б ЖБЪБ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ РПЧФПТСЕНПУФШ РТПГЕУУБ ЧП ЧТЕНЕОЙ, Й Ч ЬФПН УНЩУМЕ ПОЙ НПЗХФ ТБУУНБФТЙЧБФШУС ЛБЛ ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ.

: тЙУ. 16. зБТНПОЙЮЕУЛБС ЖХОЛГЙС ( Б ) Й ЪБЧЙУЙНПУФШ ЕЕ ЖБЪЩ ПФ ЧТЕНЕОЙ ( В ).

оЕЗБТНПОЙЮЕУЛЙК РТПГЕУУ ФБЛЦЕ НПЦОП ЖПТНБМШОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ БНРМЙФХДОХА Й ЖБЪПЧХА УПУФБЧМСАЭЙЕ:

ЪДЕУШ — БНРМЙФХДБ Й — ЖБЪБ РТПГЕУУБ , ЪБЧЙУСЭЙЕ ПФ ЧТЕНЕОЙ Й ЙНЕАЭЙЕ ФБЛПК ЦЕ УНЩУМ, ЮФП Й ДМС ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ. рПУЛПМШЛХ ЖБЪБ ЪБЧЙУЙФ ПФ ЧТЕНЕОЙ РТПЙЪЧПМШОЩН ПВТБЪПН, ФП ЧЧПДЙФУС РПОСФЙЕ НЗОПЧЕООПК ЮБУФПФЩ :

пФНЕФЙН, ЮФП ДМС УПУФБЧМСАЭЙИ РТПГЕУУБ (2.17) ЮБУФП ЙУРПМШЪХАФУС ФЕТНЙОЩ НЗОПЧЕООБС БНРМЙФХДБ Й НЗОПЧЕООБС ЖБЪБ , ЮФПВЩ РПДЮЕТЛОХФШ ЙИ ПФМЙЮЙЕ ПФ БНРМЙФХДЩ Й ЖБЪЩ ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ.

рТЕДУФБЧМЕОЙЕ РТПГЕУУБ Ч ЧЙДЕ (2.17) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП, ЧП-РЕТЧЩИ, БНРМЙФХДБ, ЖБЪБ Й ЮБУФПФБ СЧМСАФУС ЖХОЛГЙСНЙ ЧТЕНЕОЙ Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, НПЗХФ ИБТБЛФЕТЙЪПЧБФШ ОЕУФБГЙПОБТОЩК ур, Й, ЧП-ЧФПТЩИ, ЙУИПДОЩК ур ТБУЛМБДЩЧБЕФУС ОБ ДЧЕ УПУФБЧМСАЭЙЕ — БНРМЙФХДХ Й ЖБЪХ, РПЧЕДЕОЙЕ ЛПФПТЩИ НПЦЕФ БОБМЙЪЙТПЧБФШУС Ч ПФДЕМШОПУФЙ.

уХЭЕУФЧХЕФ ВЕУЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП УРПУПВПЧ РТЕДУФБЧМЕОЙС ЙУИПДОПЗП ур Ч ЧЙДЕ (2.17). дЕКУФЧЙФЕМШОП, НПЦОП ЖПТНБМШОП ЪБРЙУБФШ ур Ч ЛПНРМЕЛУОПК ЖПТНЕ: , ДПРПМОЙЧ ТЕБМШОЩК РТПГЕУУ РТПЙЪЧПМШОПК НОЙНПК ЮБУФША . фПЗДБ

ЪДЕУШ НЗОПЧЕООЩЕ БНРМЙФХДБ , ЖБЪБ Й ЮБУФПФБ ПРТЕДЕМСАФУС ЧЩТБЦЕОЙСНЙ:

рТЙ ФБЛПК ЪБРЙУЙ БНРМЙФХДБ, ЖБЪБ Й ЮБУФПФБ РТПГЕУУБ УФПМШ ЦЕ РТПЙЪЧПМШОЩ, ЛБЛ НОЙНБС ЮБУФШ . еУМЙ ХЛБЪБФШ ПРЕТБФПТ, ЛПФПТЩК УФБЧЙФ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ЖХОЛГЙЙ ЖХОЛГЙА , ФП РТПЙЪЧПМШОПУФШ НПЦОП ЙУЛМАЮЙФШ. фБЛЙН ПРЕТБФПТПН СЧМСЕФУС РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ . ьФП РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ ПВМБДБЕФ ТСДПН УЧПКУФЧ, ВМБЗПДБТС ЛПФПТЩН РТЙ ЪБРЙУЙ ЖХОЛГЙК Й ЙОЖПТНБГЙС ПВ ЙУИПДОПН ур ОЕ ЙУЛБЦБЕФУС.

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ДЕКУФЧЙФЕМШОПК ЖХОЛГЙЙ , ПРТЕДЕМЕООПК ЧП ЧУЕК ЧТЕНЕООПК ПВМБУФЙ , ЕУФШ ДЕКУФЧЙФЕМШОБС ЖХОЛГЙС , ФБЛЦЕ ПРТЕДЕМЕООБС ОБ ЧУЕК ЧТЕНЕООПК ПУЙ Й ЪБДБЧБЕНБС ЖПТНХМПК:

Ч ЛПФПТПК ЙОФЕЗТБМ РПОЙНБЕФУС Ч УНЩУМЕ ЗМБЧОПЗП ЪОБЮЕОЙС лПЫЙ. рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ СЧМСЕФУС МЙОЕКОЩН ПРЕТБФПТПН. дМС ОЕЗП УХЭЕУФЧХЕФ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ Й ЧЩРПМОСЕФУС УЧПКУФЧП: ЬОЕТЗЙЙ Й ПДЙОБЛПЧЩ, Ф.Е. РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ (2.20) ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ОЕПВИПДЙНЩН ХУМПЧЙСН ДМС РПМХЮЕОЙС ОЕЙУЛБЦЕООПК ЙОЖПТНБГЙЙ П РТПГЕУУЕ .

рПДЮЕТЛОЕН, ЮФП ЛПНРМЕЛУОБС ЪБРЙУШ ЗБТНПОЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ РПМХЮБЕФУС ДПРПМОЕОЙЕН ДЕКУФЧЙФЕМШОПК ЖХОЛГЙЙ НОЙНПК ЮБУФША, ПФМЙЮБАЭЕКУС ПФ ДЕКУФЧЙФЕМШОПК РПЧПТПФПН ЖБЪЩ ОБ . рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ПВПВЭБЕФ ЬФП РТБЧЙМП ОБ РТПЙЪЧПМШОЩЕ ЖХОЛГЙЙ: ЕУМЙ РТЕДУФБЧЙФШ РТПГЕУУ ЛБЛ УХРЕТРПЪЙГЙА ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ФП НОЙНБС ЮБУФШ , УПРТСЦЕООБС РП зЙМШВЕТФХ, ЕУФШ УХРЕТРПЪЙГЙС ФЕИ ЦЕ ЗБТНПОЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, УДЧЙОХФЩИ РП ЖБЪЕ ОБ . рХУФШ СЧМСЕФУС РТЕПВТБЪПЧБОЙЕН жХТШЕ УЙЗОБМБ , ФПЗДБ УПРТСЦЕООХА РП зЙМШВЕТФХ НОЙНХА ЮБУФШ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ЛБЛ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ ПФ :

Ч ЛПФПТПН ПВТБЪ жХТШЕ УЧСЪБО У ЖХТШЕ-ПВТБЪПН ЙУИПДОПЗП УЙЗОБМБ ЧЩТБЦЕОЙЕН:

0; \ -pi/2, f

0; \ -pi/2, f (р22)

фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ НПЦЕФ ВЩФШ ПУХЭЕУФЧМЕОП У РПНПЭША ЙДЕБМШОПЗП ЖБЪПЧТБЭБФЕМС, ПУФБЧМСАЭЕЗП НПДХМШ ОЕЙЪНЕООЩН Й УДЧЙЗБАЭЕЗП ЖБЪХ БТЗХНЕОФБ ОБ ОБ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЮБУФПФБИ Й ОБ ОБ ПФТЙГБФЕМШОЩИ ЮБУФПФБИ. еУМЙ ПУХЭЕУФЧМСФШ ПВТБВПФЛХ ЙОЖПТНБГЙЙ Ч ТЕЦЙНЕ ТЕБМШОПЗП ЧТЕНЕОЙ, ФП ФБЛХА ПРЕТБГЙА НПЦОП ТЕБМЙЪПЧБФШ ФПМШЛП РТЙВМЙЦЕООП, ОП У РТПЙЪЧПМШОП ЧЩУПЛПК ФПЮОПУФША ДМС РТПГЕУУБ, ЙЪЧЕУФОПЗП ОБ ЧУЕК ЧТЕНЕООПК ПУЙ. чЩТБЦЕОЙС (2.20)-(2.21) РТЙНЕОЙНЩ ЛБЛ ДМС РЕТЙПДЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ЛПФПТЩЕ ЪБРЙУЩЧБАФУС ЮЕТЕЪ ТСДЩ жХТШЕ, ФБЛ Й ДМС РТПГЕУУПЧ, РТЕДУФБЧМСЕНЩИ ЙОФЕЗТБМПН жХТШЕ.

йФБЛ, У РПНПЭША РТЕПВТБЪПЧБОЙС зЙМШВЕТФБ (2.20) Й ЧЩТБЦЕОЙС (2.18) НЩ НПЦЕН РПУФБЧЙФШ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ДЕКУФЧЙФЕМШОПК ЖХОЛГЙЙ ЛПНРМЕЛУОХА ЖХОЛГЙА , ЛПФПТБС ОПУЙФ ОБЪЧБОЙЕ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ р1 . рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ жХТШЕ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ У ХЮЕФПН ЧЩТБЦЕОЙС (2.22) ЪБРЙУЩЧБЕФУС Ч ЧЙДЕ:

0; \ 0 ,& f

0; \ 0 ,& f (р23)

уМЕДПЧБФЕМШОП, УРЕЛФТБМШОБС ЖХОЛГЙС БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ РПМОПУФША ПРТЕДЕМСЕФУС УРЕЛФТБМШОПК ЖХОЛГЙЕК ЙУИПДОПЗП УЙЗОБМБ . рПЬФПНХ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ жХТШЕ ДБУФ БОБМЙФЙЮЕУЛЙК УЙЗОБМ , РТЙЮЕН .

: тЙУ. 17. тЕБМЙЪБГЙЙ ( Б, З ), НЗОПЧЕООЩЕ БНРМЙФХДЩ ( В, Д ) Й НЗОПЧЕООЩЕ ЖБЪЩ ( Ч, Е ) БНРМЙФХДОП- Й ЮБУФПФОП-НПДХМЙТПЧБООЩИ УЙЗОБМПЧ, УППФЧЕФУФЧЕООП.
: тЙУ. 18. тЕБМЙЪБГЙЙ ( Б ), НЗОПЧЕООЩЕ БНРМЙФХДЩ ( В ) Й НЗОПЧЕООЩЕ ЖБЪЩ ( Ч ) РЕТЧПК (УРМПЫОБС МЙОЙС) Й ЧФПТПК (РХОЛФЙТОБС МЙОЙС) ЧЪБЙНПУЧСЪБООЩИ ИБПФЙЮЕУЛЙИ УЙУФЕН. тБЪОПУФЙ НЕЦДХ ТЕБМЙЪБГЙСНЙ ( З ), НЗОПЧЕООЩНЙ БНРМЙФХДБНЙ ( Д ) Й НЗОПЧЕООЩНЙ ЖБЪБНЙ ( Е ) ИБПФЙЮЕУЛЙИ УЙУФЕН.

ъОБС ДЕКУФЧЙФЕМШОХА Й НОЙНХА ЮБУФЙ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ , НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ БНРМЙФХДХ , ЖБЪХ Й НЗОПЧЕООХА ЮБУФПФХ РТПГЕУУБ У РПНПЭША ЧЩТБЦЕОЙК (2.19). оБ РТБЛФЙЛЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ЧТЕНЕООПЗП ТСДБ ЛПОЕЮОПК ДМЙОЩ ЮБЭЕ ЧУЕЗП ПУХЭЕУФЧМСЕФУС ЮЕТЕЪ БОБМЙФЙЮЕУЛХА ЖХОЛГЙА РП БМЗПТЙФНХ, УПЗМБУОП ЛПФПТПНХ ОЕПВИПДЙНП

Читайте также:  Обращение к процедуре объекта как к функции

— ПРТЕДЕМЙФШ У РПНПЭША БМЗПТЙФНБ ЛПНРМЕЛУОПЗП врж р1 РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ жХТШЕ БОБМЙЪЙТХЕНПЗП ЧТЕНЕООПЗП ТСДБ;

— ЧЩЮЙУМЙФШ ЖХТШЕ-ПВТБЪ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ У РПНПЭША ЧЩТБЦЕОЙС (2.23);

— ПУХЭЕУФЧЙФШ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ жХТШЕ ПФ У РПНПЭША ЛПНРМЕЛУОПЗП врж Й РПМХЮЙФШ БОБМЙФЙЮЕУЛЙК УЙЗОБМ ;

— ТБЪДЕМЙФШ НОЙНХА ЮБУФШ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП УЙЗОБМБ Й ДЕКУФЧЙФЕМШОХА; Ч ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮЙФШ ЙУЛПНПЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ .

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ЧТЕНЕООПЗП ТСДБ НПЦОП ПУХЭЕУФЧЙФШ ФБЛЦЕ У РПНПЭША ЧЩТБЦЕОЙС (2.20), ЪБНЕОСС ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ОБ УХННЙТПЧБОЙЕ:

ЗДЕ УХННЙТПЧБОЙЕ ЧЕДЕФУС РП ЧУЕН . пДОБЛП ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙС зЙМШВЕТФБ РП РТЙЧЕДЕООПНХ БМЗПТЙФНХ ФТЕВХЕФ ЪОБЮЙФЕМШОП НЕОШЫЙИ ЪБФТБФ ЧЩЮЙУМЙФЕМШОЩИ ТЕУХТУПЧ, ЮЕН РТСНПЕ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЮЕТЕЪ УХННЙТПЧБОЙЕ (2.24).

оБ ТЙУ. 17 РТЙЧЕДЕОЩ РТЙНЕТЩ РТЕПВТБЪПЧБОЙК зЙМШВЕТФБ БНРМЙФХДОП- Й ЮБУФПФОП-НПДХМЙТПЧБООЩИ УЙЗОБМПЧ, ЛПФПТЩЕ ОБЗМСДОП ДЕНПОУФТЙТХАФ ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ РТЕПВТБЪПЧБОЙС — ЙДЕБМШОПЕ ДЕФЕЛФЙТПЧБОЙЕ УЙЗОБМПЧ.

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ зЙМШВЕТФБ ЫЙТПЛП ЙУРПМШЪХЕФУС ДМС БОБМЙЪБ ЧТЕНЕООЩИ ТСДПЧ, ПУПВЕООП УФПИБУФЙЮЕУЛПЗП РТПЙУИПЦДЕОЙС, Й ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС УФЕРЕОЙ УЙОИТПООПУФЙ НЕЦДХ ЧТЕНЕООЩНЙ ТСДБНЙ, ЛПФПТЩЕ РПТПЦДБАФУС УФПИБУФЙЮЕУЛЙНЙ Й ИБПФЙЮЕУЛЙНЙ УЙУФЕНБНЙ. ч РПУМЕДОЕН УМХЮБЕ ТСДЩ ТБУЛМБДЩЧБАФУС ОБ БНРМЙФХДОХА Й ЖБЪПЧХА УПУФБЧМСАЭЙЕ, ЛПФПТЩЕ БОБМЙЪЙТХАФУС ОЕЪБЧЙУЙНП. ьФП РПЪЧПМСЕФ ПВОБТХЦЙФШ ЧЪБЙНПУЧСЪШ УЙЗОБМПЧ, РТПСЧМСАЭХАУС Ч УЙОИТПООПУФЙ ДЙОБНЙЛЙ ЖБЪ, ДБЦЕ ФПЗДБ, ЛПЗДБ БНРМЙФХДОБС ДЙОБНЙЛБ ПУФБЕФУС ОЕУЧСЪБООПК Й ДТХЗЙЕ НЕФПДЩ ПВОБТХЦЕОЙС УЧСЪБООПУФЙ РТПГЕУУПЧ СЧМСАФУС ОЕРТЙЗПДОЩНЙ.

тБУУНПФТЙН РТЙНЕОЕОЙЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙС зЙМШВЕТФБ ДМС БОБМЙЪБ УЙОИТПООПУФЙ НЕЦДХ ДЧХНС ЧЪБЙНПУЧСЪБООЩНЙ ИБПФЙЮЕУЛЙНЙ УЙУФЕНБНЙ. оБ ТЙУ. 18 РПЛБЪБОЩ ТЕБМЙЪБГЙЙ РЕТЧПК Й ЧФПТПК ИБПФЙЮЕУЛЙИ УЙУФЕН, ЙИ НЗОПЧЕООЩЕ БНРМЙФХДЩ , Й ЖБЪЩ , . дМС ФПЗП ЮФПВЩ ЧЩСУОЙФШ ОБМЙЮЙЕ УЙОИТПООПУФЙ НЕЦДХ УЙУФЕНБНЙ ТБУУНПФТЙН РПЧЕДЕОЙЕ ТБЪОПУФЕК: , , . лБЛ ЧЙДОП (ТЙУ. 18), ТБЪОПУФЙ НЕЦДХ ТЕБМЙЪБГЙСНЙ УЙУФЕН Й НЗОПЧЕООЩНЙ БНРМЙФХДБНЙ УЙМШОП ЙЪНЕОСАФУС ЧП ЧТЕНЕОЙ, Б ТБЪОПУФШ НЕЦДХ НЗОПЧЕООЩНЙ ЖБЪБНЙ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ НЕОСЕФУС. ч ЬФПН УМХЮБЕ ЗПЧПТСФ, ЮФП ОБВМАДБЕФУС ЖБЪПЧБС УЙОИТПОЙЪБГЙС НЕЦДХ УЙУФЕНБНЙ, Б ЙИ БНРМЙФХДОБС ДЙОБНЙЛБ СЧМСЕФУС ОЕУЙОИТПООПК. дБООЩК ЧЩЧПД НПЦОП УДЕМБФШ ФПМШЛП ВМБЗПДБТС ЙУРПМШЪПЧБОЙА РПОСФЙК НЗОПЧЕООПК БНРМЙФХДЩ Й ЖБЪЩ Й РТЙНЕОЕОЙА РТЕПВТБЪПЧБОЙС зЙМШВЕТФБ.

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.8) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций и которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Таким образом, сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

Можно поступить и по иному, выразив сигнал через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.9) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.11) лишь знаком:

Формулы (3.11) и (3.12) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

Функция называется ядром этих преобразований.

Свойства преобразований Гильберта.

1) Простейшее свойство — линейность.

2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: 3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо исходный сигнал ) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу»

4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.

Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала с опорной частотой . Спектр данного сигнала:

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.9) спектр сопряжённого сигнала:

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.18) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу

соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

Ссылка на основную публикацию
Почему не работает эквалайзер на андроид
Как обещал, теперь описываю новое звучание на новом ГУ, о котором я рассказывал здесьwww.drive2.ru/l/521349107424428424/ Комплектация у меня Instyle — 2...
Порвалась сеточка на кроссовках что делать
Реанимация беговых кроссовок Одна из актуальных тем для любителей бега, особенно спортсменов проводящих на тренировках значительное время и выполняющих внушительные...
После конвертации видео не воспроизводится
Бывает ситуация, когда видеофайл не хочет читаться DVD-плеером домашнего кинотеатра. Причины могут быть разные: не поддерживаемый формат, разрешение видео превышает...
Почему осу не устанавливается
Файл osu!.exe из ppy является частью osu!. osu!.exe, расположенный в c:program filesosu!osu!.exe с размером файла 2480712 байт, версия файла 1.3.3.7,...
Adblock detector