Косинус отрицательного числа равен

Косинус отрицательного числа равен

Коcинус – одна из тригонометрических функций. Значение косинуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).

Аргумент и значение

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше (0) и меньше (1)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи : (frac<π><2>) , (frac<3π><4>) , (-2π).

Например, для числа (frac<π><6>) — косинус будет равен (frac<sqrt<3>><2>) . А для числа (-) (frac<3π><4>) он будет равен (-) (frac<sqrt<2>><2>) (приблизительно (-0,71)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от (0) до (1), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от (0) до (-1), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак (cos 1).
Решение: Найдем (1) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что (π=3,14). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что (cos⁡1) – положителен.
Ответ: плюс.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
тангенсом того же угла (или числа): формулой (1+tg^2⁡x=) (frac<1><cos^2⁡x>)
котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой (ctgx=) (frac<cos><sin⁡x>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция (y=cos)

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: (D(cos <⁡x>)=R)
— область значений – от (-1) до (1) включительно: (E(cos )=[-1;1])
— четная: (cos⁡(-x)=cos
)
— периодическая с периодом (2π): (cos⁡(x+2π)=cos
)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: (() (frac<π><2>) (+πn),(;0)), где (n ϵ Z)
ось ординат: ((0;1))
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: ((-) (frac<π><2>) (+2πn;) (frac<π><2>) (+2πn)), где (n ϵ Z)
функция отрицательна на интервалах: (() (frac<π><2>) (+2πn;) (frac<3π><2>) (+2πn)), где (n ϵ Z)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
функция убывает на интервалах: ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=2πn), где (n ϵ Z)
функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=π+2πn), где (n ϵ Z).

Читайте также:  Как переключаться между кораблями в ksp

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень. "
И для тех, кто "очень даже. " )

В предыдущем уроке мы освоили базовые понятия. Это понятия тригонометрическая окружность, угол, синус и косинус этого угла. Освоили, что называется, "на пальцах". Главное сделано. Но чтобы толково использовать эти понятия на практике, надо чётко усвоить два момента.

1. Как считаются углы?
2. В чём они считаются?

Первый вопрос прост, но и здесь есть место ошибкам. А второй. Если опросить 10 человек на тему: "Что такое "Пи" в тригонометрических функциях?", лучший ответ будет такой:"Пи — это 180 градусов!" Что, по сути, верно, но уточнять детали лучше уже не надо. Чтобы не испортить впечатление.)

Формальное, неосознанное использование понятий очень часто приводит. в лужу. При нестандартных вопросах — почти всегда. Но мы в лужу не собираемся, правда? Сыро там. Работаем.

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии.

В этом небольшом уроке разберём первый вопрос.

Итак, как считать углы на тригонометрическом круге?
Смотрим на рисунок.

Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей (в уголках большого квадрата) — от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом "квадранты") нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Всё понятно, никаких заморочек.

И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом, т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.

Если будем откладывать углы в обратную сторону, по ходу часовой стрелки, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете), увидите синюю стрелку с минусом. Это — направление отрицательного отсчёта углов. Для примера показан отрицательный угол (- 60°). А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях. Я их тоже перевёл в отрицательные углы. Нумерация квадрантов не меняется.

Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?

Да. Именно так. Скажем, положительный угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и отрицательный угол в минус 270 градусов. Положительный угол, к примеру, +110° градусов занимает точно такое же положение, что и отрицательный угол -250°.

Зачем?! Как теперь считать углы, если можно и так и этак!? Как правильно!?

Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа "определить наименьший положительный угол" и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.

Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.

А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°. Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно 110°. И считаем, сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°.

Уловили? А теперь — внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе — есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.

Читайте также:  Мегашара зеркало сайта как зайти

Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках — разные. А вот тригонометрические функции у них — одинаковые.

Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки — положительный отсчёт. По ходу — отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас. От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно. Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.

Углы больше 360°.

Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот — уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает. Но угол больше 270° — а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.

Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания "лишних" полных оборотов — это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами.

Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)

Ну что, потренируемся?)

Отвечаем на вопросы. Сначала простые.

1. В какую четверть попадает угол -325° ?

2. В какую четверть попадает угол 3000° ?

3. В какую четверть попадает угол -3000° ?

Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой "Практической работы. " всё подробненько. В таких вопросах неуверенности быть не должно!

Всё нормально? Едем дальше:

4. Какой знак имеет sin555° ?

5. Какой знак имеет tg555° ?

Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555. Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.

А теперь вопросы помудрёнее.

6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.

7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.

8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.

9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.

Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются. Так и быть, переведу. Только для вас!

Слова "привести выражение к. " означают преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а внешний вид поменялся в соответствии с заданием. Так, в задании 6 и 9 мы должны получить синус, внутри которого стоит наменьший положительный угол. Всё остальное — не имеет значения.

Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре. Не разбежишься в вариантах.

Предполагаю, что ответы на вопросы 6 -9 кое-кого смутили. Особенно -sin(-57°), правда?) Действительно, в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок. Именно поэтому пришлось сделать урок: "Как определять знаки функций и приводить углы на тригонометрическом круге?" В Разделе 555. Там задания 4 — 9 разобраны. Хорошо разобраны, со всеми подводными камнями. А они тут есть.)

Читайте также:  Как разобрать принтер hp 1102

В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом "Пи". Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает, чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Математика — это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

Страницы

четверг, 11 ноября 2010 г.

Косинус формулы приведения

Формулы приведения косинуса расписаны довольно подробно для самых разных углов. Начнем с того, что тригонометрическая функция косинус является четной тригонометрической функцией. А это как? На знак минус перед значением угла при нахождении косинуса можно вообще не обращать внимания. Как будто минуса нет совсем. Значение косинуса отрицательного угла альфа будет точно таким же, как и значение косинуса положительного угла альфа. Как видите, есть в математике такие штучки, которые имеют иммунитет к отрицательным значениям. На картинке вы можете увидеть эту формулу в самой верхней строчке.


Первый столбик в формулах образуют углы в радианной и градусной мерах. В радинах измеряются те углы, которые имеют волшебную буковку пи. Пи/2, пи, 3пи/2 и 2пи — это и есть значения угла в радианах. Им соответствуют 90, 180, 270 и 360 градусов. Это записано для тех, кто испытывает затруднения в переводе углов из градусов в радианы и обратно. Такой себе пешеходный тригонометрический переход. Улица называется "Угол", а у этой улицы есть два тротуарчика для пешеходов. Один тротуарчик называется "Радианы", с его стороны дома имеют номера пи/2 (пи пополам), пи, 3пи/2 (три вторых пи), 2пи (два пи) и так дальше до самой Америки))) Другой тротуарчик называется "Градусы", здесь дома имеют номера 90, 180, 270, 360 и так дальше. Когда мы стоим стоим на этой улице, свое точное местоположение мы можем определять по номеру ближайшего дома. Этот номер будет или в радианах, или в градусах, смотря на каком тротуаре мы стоим и в какую сторону от дороги смотрим. Допустим, ми прочли адрес "Угол 3пи/2". Переходим на противоположную сторону улицы — мы уже находимся по адресу "Угол 270 градусов". Место одно и то же, но называется по-разному. Таковы причуды придуманной нами математики. Но мы немного отвлеклись от формул приведения косинуса.

Над надписью "Математика для блондинок", в среднем столбике, расположены формулы приведения косинуса для суммы углов. Если большой угол представить в виде суммы разных комбинаций прямого угла (угол в пи/2 или 90 градусов называется прямым) и угла альфа, то кусочки такого угла, кратные прямому углу, можно выбросить. Вместо косинуса большого угла, мы получим значение косинуса или синуса острого угла (углы от 0 до пи/2 радиан или от 0 до 90 градусов называются острыми). Теперь это значение можно довольно просто найти по таблице косинусов или таблице синусов. Кстати, в этих таблицах даны значения для углов аж до 360 градусов или 2пи. Можете проверить формулы приведения, сравнив значения для больших углов и острых углов, выполнив преобразования по формулам приведения.

Ниже на картинке написаны формулы приведения для разности комбинаций прямых углов и угла альфа. То есть, если большое значение угла представить как комбинацию прямого угла минус угол альфа.

В последнем столбике представлены формулы приведения для случая, если мы к углу альфа будем прибавлять или вычитать из угла альфа комбинации из прямых углов. Например, если к углу альфа прибавить прямой угол, то косинус этакого угла будет равен отрицательному значению синуса исходного угла альфа. Если из угла альфа вычесть прямой угол, то косинус такого угла будет равняться синусу исходного угла альфа.

Ссылка на основную публикацию
Команды циско пакет трейсер
Packet Tracer является не только замечательным инструментом для тренировки своих навыков настройки оборудования через терминал, но и полезным средством при...
Каско на два года
На сайте Юридической социальной сети 9111.ru собрано 14 вопросов по теме Втб каско на второй год. Вы можете воспользоваться поиском...
Каталог содержимого wsus недоступен
Установка WSUS До того, как производить оптимизацию WSUS, рекомендуем еще в процессе установки принять решение о некоторых параметрах установки. Итак,...
Компрессор для заправки метана в домашних условиях
Ниже представлены домашние газовые заправки российского, итальянского и французского производства. В сравнительной таблице приведены основные технические характеристики и цены на...
Adblock detector