Экспонента что это такое простыми словами

Экспонента что это такое простыми словами

Определение

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045.

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ .
Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

y = е х
Область определения – ∞
Область значений
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1
+ ∞

Обратная функция

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

Выражения через тригонометрические функции

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Читайте также:  Домашняя шашлычница на углях

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

  • через сумму ряда;
  • через формулу Муавра — Стирлинга;
  • другие.

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

И эти вычисления дали нам следующий результат:

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Читайте также:  Зарегистрироваться на сайте электронной почты

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после "2,7" число "1828" появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Узнайте также, что такое Число Пи и Логарифм.

Некоторые математические константы были известны издавна: числом Пи пользовались еще в Вавилонском царстве и Древнем Египте, «золотое сечение» же вывел итальянский математик Леонардо Фибоначчи в XIII веке. А число e появилось в 1690 году. Швейцарский математик Якоб Бернулли вычислил его, когда изучал разделы высшей математики — интегральное и дифференциальное исчисление.

Читайте также:  Как соединить кабель витая пара между собой

Бернулли наткнулся на существование e, решая одну прикладную задачу.

Как мы видим, Бернулли задался вопросом: что если неограниченно увеличивать n в следующей формуле:

В высшей математике это называется «предельным переходом». Учёный определил, что при предельном переходе эта формула дает число: 2,718281828459045…, которое и получило название «число e».

Это число интересно тем, что повсеместно присутствует во многих разделах математики. Встретить его можно в тех областях, где математика «обслуживает» сложные физические процессы — например, затухающие колебания, ядерные реакции, радиоактивный распад и другое.

Затухающее гармоническое движение

Другой пример. Представь себе, что ты биолог и у тебя в специальном стеклянном блюдце (оно называется чашка Петри) с питательным раствором размножаются бактерии. При этом известно, что каждую минуту количество бактерий увеличивается вдвое.

Допустим, деление началось всего с одной бактерии. Через минуту бактерий будет 2, ещё через минуту 4, потом 8 и так далее. Чтобы посчитать, сколько в чашке бактерий на любой заданный момент времени, нужно применить (в качестве расчётной формулы) так называемую показательную функцию , то есть 2x (два в степени x; 2 — потому что бактерии удваиваются), где x — это заданное время в минутах от начала процесса. В математике самая «знаменитая» показательная функция — e в степени x. У неё даже есть специальное название — экспонента .

Есть ещё в высшей математике понятие производная от функции. Наглядно — это скорость роста (или убывания) графика функции в каждой точке её графика. Так вот, экспонента замечательна тем, что производная от неё равна самой функции, то есть скорость роста графика экспоненты — это тоже экспонента. И это единственная функция, которая обладает таким свойством.

Ссылка на основную публикацию
Что случилось с facebook
На форумах и в поисковых запросах часто встречается вопрос, почему не работает Фейсбук сегодня, и что делать в такой ситуации....
Читы для вар тандер на орлы
Данный чит носит название Орлы чит для War Thunder 3.0. Это обновление для игры вышло совсем недавно, но для него...
Что больше мегабит или килобит
В эпоху оптоволокна и накопителей объемом в десятки терабайт считать в битах не принято. Мы бы совсем забыли, чем отличается...
Что смотрят в интернете больше всего
Наверное, многим интересно, что чаще всего запрашивают люди в поисковиках, какие поисковые запросы самые популярные и востребованные. Ошибки и опечатки...
Adblock detector