Является ли тождественно истинной данная формула

Является ли тождественно истинной данная формула

· логика, как наука;

· приоритет логических операций;

· тождественно истинные и тождественно ложные операции;

· основные законы алгебры логики;

· доказательство логических законов;

· простейшие преобразователи информации;

Если сложное высказывание истинно для всех значений входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫМ или тавтологией (обозначается константой 1).

НАПРИМЕР высказывание: "Демократ — это человек, исповедующий демократические убеждения" — всегда истинно, то есть является тавтологией.

Все математические, физические и др. законы являются тавтологиями. Например: (а+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким: "Дождь будет или дождя не будет". Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого устроит. Его математическая запись:

(по закону исключенного третьего всегда должно быть истинным либо суждение, либо его отрицание).

Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.

Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМ (обозначается константой 0 ).

НАПРИМЕР, высказывание: "Сегодня среда, а это — второй день недели" является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: "Компьютер включен и компьютер не включен (выключен)". Математическая запись его такова:

(по закону противоречия: не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание.)

Если значения сложных высказываний совпадают при всех возможных значениях входящих в них переменных, то такие высказывания называют РАВНОСИЛЬНЫМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ

Упрощение сложных высказываний — это замена высказывания на равносильное ему на основе законов алгебры высказываний

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ (РАВНОСИЛЬНОСТИ) АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

· логика, как наука;

· приоритет логических операций;

· тождественно истинные и тождественно ложные операции;

· основные законы алгебры логики;

Читайте также:  Ростелеком телефон горячей линии пермь

· доказательство логических законов;

· простейшие преобразователи информации;

При решении логических задач часто приходится упрощать формулы. Упрощение формул в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные законы.

Законы логики высказываний — это такие выражения, которым всегда соответствует истинное высказывание, какие бы подстановки значений мы ни делали вместо переменных. В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде формул.

1.1. Закон тождества:

— всякая мысль тождественна самой себе, то есть "А есть А", где А – любое высказывание.

2. Закон исключенного третьего:

— в один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.

НАПРИМЕР. "Число 123 либо четное, либо нечетное, третьего не дано".

Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: либо-либо, истина-ложь. Там же где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

Рассмотрим следующее высказывание: "Это предложение ложно". Оно не может быть истинным, потому, что оно утверждает, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.

Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере:

"В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру?"

В нашей формальной системе нет возможности ввести такое ссылающееся само на себя истолкование, поэтому мы не можем выразить все возможные мысли и доводы.

Читайте также:  Тонкий ноутбук в металлическом корпусе

3. Закон непротиворечия:

— не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть, если высказывание А — истинно, то его отрицание А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.

Именно эта формула часто используется при упрощении сложных логических выражений.

Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.

ПРИМЕР. Е = "На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет"

4. Закон двойного отрицания:

— если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.

НАПРИМЕР: А = "Неверно, что Матроскин не кот"

эквивалентно высказыванию А = "Матроскин — кот".

Определение 1.3. Формула называется тождественно-истинной (тавтологией), если для любых наборов переменных она принимает значение И.

Определение 1.4. Формула называется тождественно-ложной, если для любых наборов переменных она принимает значение Л.

Определение 1.5. Формула называется выполнимой, если для некоторых наборов переменных она принимает значение И.

Проблема разрешимости для логики высказываний заключается в том, чтобы установить, является ли произвольная формула тождественно-истинной.

Теорема 1.1. Формула является тождественно-истинной тогда и только тогда, когда в ее КНФ в любую из элементарных дизъюнкций одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

Теорема 1.2. Формула является тождественно-ложной тогда и только тогда, когда в ее ДНФ в любую из элементарных конъюнкций одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

Следовательно, приведя формулу равносильными преобразованиями к КНФ, можно установить, является ли она тождественно-истинной, а приведя ее к ДНФ, можно установить, является ли она тождественно-ложной.

Доказать, что формула F = (АB) ((C Ú А) (C Ú B)) является тождественно-истинной.

Последовательно применяя равносильные преобразования, приведем нашу формулу к КНФ:

Читайте также:  Чем смазать помпу стиральной машины

В первую дизъюнкцию входят C и C. Во вторую – B и B, C и C. в третью – B и B. Следовательно, на основании теоремы 1.1 можно утверждать, что исходная формула является тождественно-истинной.

Так как всякой формуле соответствует таблица истинности, то тождественная истинность или тождественная ложность формулы может быть установлена двумя путями:

1) приведением с помощью равносильных преобразований к КНФ или ДНФ;

2) составлением таблицы истинности.

Установить, является ли тождественно-истинной данная формула логики высказываний: F(A, B) = (А&(АB)) B.

1) Последовательно применяя равносильные преобразования, приведем нашу формулу к КНФ:

В первую дизъюнкцию входят A и A. Во вторую – B и B, поэтому формула является тождественно истинной, F(A, B)  И.

2) Составим таблицу истинности F(A, B) (таблица 1.7):

3. (A ∨ (B ↔ A)) ∧ (A → B)

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Yulyadunaeva 07.07.2015

Ответ

Проверено экспертом

A = НЕ А)
Эквиваленция раскрывается так:
A ↔ B = (

B) V (A / B)
Подставляем:
1. (A / B) → (A V B) =

B V A V B = 1
Формула тождественно истинна
2. (A V B) → (A / B) =

B) V (A / B) = A ↔ B
Формула является выполнимой
3. (A V (B ↔ A)) / (A → B) = (A V (

A V B) = Z
По закону поглощения A V (B / A) = A, поэтому
Z = (A V (

Ссылка на основную публикацию
Эффект крови на экране
Мы с вами попытаемся создать приложение, которое заставит монитор истекать кровью. Использовать эту программу можно на компьютере жертвы во время...
Что случилось с facebook
На форумах и в поисковых запросах часто встречается вопрос, почему не работает Фейсбук сегодня, и что делать в такой ситуации....
Что смотрят в интернете больше всего
Наверное, многим интересно, что чаще всего запрашивают люди в поисковиках, какие поисковые запросы самые популярные и востребованные. Ошибки и опечатки...
Эффективная антенна для цифрового телевидения своими руками
Сегодня эфирное телевидение наиболее распространено среди пользователей. Оно работает путем улавливания излучения от вещателя на приемник. В силу ряда факторов...
Adblock detector