Является ли множество открытым

Является ли множество открытым

Определение 19.МножествоЕназываетсяоткрытым, если все его точки являются внутренними, то есть если оно не содержит своих граничных точек.

Определение 20.МножествоЕназываетсязамкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть. (Иначе,).

Пример 1. Любоеn-мерный интеграл – открытое множество. Любой отрезок – замкнутое множество.

Следует обратить особое внимание на то что, классы замкнутых и открытых множеств не охватывают вместе всех множеств, кроме того, эти классы пересекаются. Существуют множества, которые не являются ни замкнутыми, ни открытыми, а так же множества, которые одновременно являются и замкнутыми, и открытыми.

Пример 2. Пустое множество следует считать замкнутым, хотя оно в то же время является и открытым. МножествоRдействительных чисел одновременно является и замкнутым, и открытым.

Множество Qрациональных чисел ни замкнуто, ни открыто. Линейный полуинтервал — ни замкнутое, ни открытое множество.

Пусть . Возьмём. Докажем, что шар(это будет означать, что любая точка шара— внутренняя, то есть— открытое множество). Возьмём. Докажем, что, для этого оценим расстояние:

.

Следовательно, , то есть, то естьS(a,r)— открытое множество.

Теорема 4.Производное множество любого множестваEзамкнуто.

Пусть . Тогдав любой окрестноститочкисуществует хотя бы одна точкамножества, отличная от. Так как— предельная точка множестваE, то в любой её окрестности (в том числе сколь угодно малой, содержащейся в) существует хотя бы одна точкамножестваE, отличная от точки. Таким образом, по определению точкаявляется предельной точкой для множестваE.Итак,, что по определению означает замкнутость множестваE.

Следует заметить, что в частном случае производное множество может оказаться пустым.

Свойства открытых и замкнутых множеств

Теорема 5. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Пусть — замкнутые множества. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда— предельная точка хотя бы одного из множеств(доказывается от противного). Так как— замкнутое множество, то. Но тогда. Итак, любая предельная точка множестваему принадлежит, то естьзамкнуто.

Теорема 6.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Пусть — любая совокупность замкнутых множеств. Докажем, что— замкнутое множество.

Пусть — предельная точка множества. Тогда по теореме 1 в любой окрестностисодержится бесконечно много точек из. Но все точки множестваявляются и точками множеств. Следовательно, всодержится бесконечно много точек из. Но все множествазамкнуты, поэтомуи, то естьзамкнуто.

Теорема 7. Если множествоFзамкнуто, то его дополнениеCFоткрыто.

Пусть . Так какзамкнуто, тоне является его предельной точкой (). Но это означает, что существует окрестностьточки, не содержащая точек множестваF, то есть. Тогдаи поэтому— внутренняя точка множества.Так как— произвольная точка множестваCF,то все точки этого множества являются внутренними, то естьCFоткрыто.

Теорема 8. Если множествоGоткрыто, то его дополнениеCGзамкнуто.

Пусть вместе с некоторой окрестностью. Следовательно,не является предельной точкой множестваCG. Итак,не является предельной точкой для, то естьсодержит все свои предельные точки. По определению,замкнуто.

Теорема 9.Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Пусть — произвольная совокупность открытых множестви. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

Читайте также:  Как убрать режим высокой контрастности

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 6 их пересечениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Теорема 10.Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Пусть — пересечение любого конечного числа открытых множеств. Докажем, что— открытое множество. Имеем:

.

Так как множества открыты, то по теореме 8 множествазамкнуты. Тогда по теореме 5 их объединениезамкнуто. По теореме 7 множествооткрыто.

Открытые и замкнутые множества

В курсе математического анализа на первом курсе ВУЗов встречается много непонятного и непривычного. Одна из первых таких «новых» тем — это открытые и замкнутые множества. Постараемся дать пояснения по данной тематике.

Перед тем, как приступить к постановке определений и задач, напомним значение используемых обозначений и кванторов :
∈ — принадлежит
∅ — пустое множество
Ε — множество действительных чисел
х* — закреплённая точка
А* — множество граничных точек
: — такое, что
⇒ — следовательно
∀ — для каждого
∃ — существует
Uε(х) — окрестность х по ε
ε(х) — проколотая окрестность х по ε

Итак,
Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М
С помощью кванторов определение запишется следующим образом:
М ∈ Ε — открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0 : Uε(y) Определение 2: Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения.
Теперь с помощью кванторов:
х*∈ E — граничная точка, если ∀Uε(x) ∩ М ≠ ∅ и ∀Uε(x) ∩ ЕМ

Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример — отрезок [a, b]

Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).

Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.

Теорема 1: Пусть множество А — открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = ЕА
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит — принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д.
В кванторах доказательство можно записать короче:
Предположим, что В — незамкнутое, тогда:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀Uε(x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀Uε(x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ ЕА = 0. Противоречие. В — замкнутое, ч. т. д.

Читайте также:  Алгоритм нахождения нок двух чисел

Теорема 2: Пусть множество А — замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = ЕА
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А — также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В — открытое множество, ч. т. д.
В кванторах это выглядеть будет следующим образом:
Предположим, что В — замкнутое, тогда:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ ЕА = 0. Противоречие. В — открытое, ч. т. д.

Теорема 3: Пусть множество А — замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅
Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы.
Предположим, что множество С — замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀Uε(x) ∩ ЕС ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀Uε(x) ⊂ В (определение открытого множества С)
Из (1) и (2) следует, что ЕС ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.

Математический анализ — это фундаментальная математика, сложная и непривычная для нас. Но надеюсь, что-то стало понятнее после прочтения статьи. В добрый путь!

Определение. Открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $
ho >0$ называется множество всех точек $xin mathbb^n,$ таких, что $|x-x_0| Определение. Пусть задано множество $E subset mathbb^n.$ Точка $x_0 in E$ называется внутренней точкой множества $E,$ если существует шар $B(x_0,
ho),$ содержащийся в $E.$ Другими словами, точка $x_0$ называется внутренней точкой множества $E,$ если она входит во множество $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E$ называется открытым, если все его точки являются внутренними точками этого множества. Условимся также считать пустое множество $emptyset$ открытым.

Пример 1. Каждый открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.

Действительно, пусть $x in B(x_0,r).$ Нужно доказать, что существует такая окрестность точки $x,$ которая целиком содержится в шаре $B(x_0,r).$ Положим $
ho = r-|x-x_0|.$ Тогда $
ho > 0,$ так как $|x-x_0| Пример 2. Рассмотрим открытые $n$-мерные интервалы. Для двух заданных векторов $a,b in mathbb^n,$ таких, что $a^i Пример 3. Множество $S$ всех точек на действительной прямой — открытое.

Рассмотрим некую точку $x,$ которая находится на расстоянии $
ho$ от точки $x_0 = (0),$ затем рассмотрим шар $B(x,eps).$ Каждая точка, принадлежащая этому шару, также, очевидно, принадлежит всей действительной прямой, т.е. $forall y in B(x,eps): y in S,$ что означает что любая точка входит в множество $S$ вместе с некоторым шаром, а по определению это значит, что $S$ — открытое множество

Свойства открытых множеств.

Теорема. Система всех открытых множеств в $mathbb^n$ обладает следующими свойствами:

  1. все пространство $mathbb^n$ и пустое множество $emptyset$ открыты;
  2. пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто;
  3. объединение любого семейства $\>_<alpha in mathcal>$ открытых множеств открыто.
  1. Пустое множество $emptyset$ открыто по определению, а всё пространство $mathbb^n,$ очевидно, открыто, поскольку любой шар содержится в $mathbb^n.$
  2. Пусть $G_1,…,G_s$ — открытые множества, $G = igcaplimits_^s G_i.$ Пусть $x in G.$ Тогда $x in G_i$ для всех $i=1,…,s.$ Но каждое из множеств $G_i$ открыто, так что для каждого $i=1,…,s$ найдется шар $B(x,r_i) subset G_i.$ Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,r),$ где $r = min(r_1,…,r_s).$ Тогда $B(x, r) subset G_i$ при каждом $i=1,…,s,$ а значит, $B(x,r) subset G,$ и тем самым доказано, что множество $G$ открыто.
  3. Пусть $G = igcuplimits_<alpha in mathcal> G_<alpha>,$ где каждое множество $G_<alpha>$ открыто. Докажем, что и множество $G$ также открыто. Действительно, пусть $x in G.$ Тогда $x$ принадлежит по крайней мере одному из множеств $G_<alpha_0>.$ Так как это множество $G_<alpha_0>$ открыто, то найдется окрестность $B(x,
    ho) subset G_ <alpha_0>subset G.$ Таким образом, $G$ — открытое множество.
Читайте также:  Виндовс 7 не видит сеть интернет

Замечание. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязано быть открытым множеством. Например, пусть $B_k$ — открытый шар с центром в нуле и радиусом $frac<1> (k = 1,2,…).$ Тогда $igcaplimits^<infty>_ B_k = <0>.$ Но множество $<0>,$ состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Определение. Пусть $E$ — непустое множество в $mathbb^n.$ Тогда совокупность всех его внутренних точек называется внутренностью множества $E$ и обозначается через $mathring$ или $ ext E.$

Теорема. Для любого непустого множества $E$ его внутренность — открытое множество.

Будем предполагать, что $mathring$ не пусто. Пусть $x in mathring.$ Тогда $x$ — внутренняя точка множества $E$ (по определению внутренности). Нужно доказать, что $x$ является также внутренней точкой множества $mathring.$ Итак, найдется шар $B(x,
ho) subset E.$ Но поскольку шар — открытое множество, то каждая точка $y in B(x,
ho)$ содержится в этом шаре вместе с некоторой окрестностью $U_y.$ Значит $U_y subset E,$ и поэтому $y$ — внутренняя точка множества $E,$ т.е. $y in mathring
.$ Таким образом, мы получили, что $B(x,
ho) subset mathring
,$ а это означает, что $mathring$ — открытое множество, и теорема доказана.

Пример 4. Рассмотрим область определения функции $f(x) = frac<1>.$ $D(f) = (-infty;0)cup(0;infty),$ значит $D(f)$ можно представить в виде объединения двух интервалов $D(f) = A_1 cup A_2,$ где $A_1 = (-infty;0); A_2 = (0;infty),$ то есть в виде объединения двух открытых множеств, так как интервалы — открытые множества по доказанному ранее. А значит, по свойству открытых множеств, множество $D(f)$ — открытое множество.

Пример 5. Рассмотрим область определения функции $f(x) = sqrt<3x>.$ $D(f)= | x geqslant 0>.$ Это множество не является открытым, докажем это. Рассмотрим точку $x=0.$ $x in D(f),$ однако не существует такого открытого шара $B(x,
ho),$ который полностью бы лежал в $D(f),$ так как в этом шаре будет присутствовать точка $y,$ такая что $x-
ho 0

Ссылка на основную публикацию
Эффект крови на экране
Мы с вами попытаемся создать приложение, которое заставит монитор истекать кровью. Использовать эту программу можно на компьютере жертвы во время...
Что случилось с facebook
На форумах и в поисковых запросах часто встречается вопрос, почему не работает Фейсбук сегодня, и что делать в такой ситуации....
Что смотрят в интернете больше всего
Наверное, многим интересно, что чаще всего запрашивают люди в поисковиках, какие поисковые запросы самые популярные и востребованные. Ошибки и опечатки...
Эффективная антенна для цифрового телевидения своими руками
Сегодня эфирное телевидение наиболее распространено среди пользователей. Оно работает путем улавливания излучения от вещателя на приемник. В силу ряда факторов...
Adblock detector