Функция от двух переменных excel

Функция от двух переменных excel

В MS Office Excel можно построить график математической функции. Рассмотрим построение графиков на примерах.

Пример 1

Дана функция:

Нужно построить ее график на промежутке [-5;5] с шагом равным 1.

Создание таблицы

Создадим таблицу, первый столбец назовем переменная x (ячейка А1), второй — переменная y (ячейка В1). Для удобства в ячейку В1 запишем саму функцию, чтобы было понятно, какой график будем строить. Введем значения -5, -4 в ячейки А2 и А3 соответственно, выделим обе ячейки и скопируем вниз. Получим последовательность от -5 до 5 с шагом 1.

Вычисление значений функции

Нужно вычислить значения функции в данных точках. Для этого в ячейке В2 создадим формулу, соответствующую заданной функции, только вместо x будем вводить значение переменной х, находящееся в ячейке слева (-5).

Важно: для возведения в степень используется знак ^, который можно получить с помощью комбинации клавиш Shift+6 на английской раскладке клавиатуры. Обязательно между коэффициентами и переменной нужно ставить знак умножения * (Shift+8).

Ввод формулы завершаем нажатием клавиши Enter. Мы получим значение функции в точке x=-5. Скопируем полученную формулу вниз.

Мы получили последовательность значений функции в точках на промежутке [-5;5] с шагом 1.

Построение графика

Выделим диапазон значений переменной x и функции y. Перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем Точечная (можно выбрать любую из точечных диаграмм, но лучше использовать вид с гладкими кривыми).

Мы получили график данной функции. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графика.

Пример 2

Даны функции:

и y=50x+2. Нужно построить графики этих функций в одной системе координат.

Создание таблицы и вычисление значений функций

Таблицу для первой функции мы уже построили, добавим третий столбец — значения функции y=50x+2 на том же промежутке [-5;5]. Заполняем значения этой функции. Для этого в ячейку C2 вводим формулу, соответствующую функции, только вместо x берем значение -5, т.е. ячейку А2. Копируем формулу вниз.

Мы получили таблицу значений переменной х и обеих функций в этих точках.

Построение графиков

Для построения графиков выделяем значения трёх столбцов, на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбираем Точечная.

Мы получили графики функций в одной системе координат. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графиков.

Последний пример удобно использовать, если нужно найти точки пересечения функций с помощью графиков. При этом можно изменить значения переменной x, выбрать другой промежуток или взять другой шаг (меньше или больше, чем 1). При этом столбцы В и С менять не нужно, диаграмму тоже. Все изменения произойдут сразу же после ввода других значений переменной x. Такая таблица является динамической.

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ "СОШ", с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями

Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст

Ошибка в тексте? Мы очень сожалеем,
что допустили ее. Пожалуйста, выделите ее
и нажмите на клавиатуре CTRL + ENTER.

Кстати, такая возможность есть
на всех страницах нашего сайта

Хотите получать информацию о наиболее интересных материалах нашего сайта?
Подпишитесь на рассылку E-mail
Установите приложение на Android

2007-2020 "Педагогическое сообщество Екатерины Пашковой — PEDSOVET.SU".
12+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-41726 от 20.08.2010 г. Выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.
Адрес редакции: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Адрес учредителя: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Учредитель, главный редактор: Пашкова Екатерина Ивановна
Контакты: +7-920-0-777-397, info@pedsovet.su
Домен: https://pedsovet.su/
Копирование материалов сайта строго запрещено, регулярно отслеживается и преследуется по закону.

Читайте также:  Групповая политика windows 10 домашняя как открыть

Отправляя материал на сайт, автор безвозмездно, без требования авторского вознаграждения, передает редакции права на использование материалов в коммерческих или некоммерческих целях, в частности, право на воспроизведение, публичный показ, перевод и переработку произведения, доведение до всеобщего сведения — в соотв. с ГК РФ. (ст. 1270 и др.). См. также Правила публикации конкретного типа материала. Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Для подтверждения подлинности выданных сайтом документов сделайте запрос в редакцию.

сервис вебинаров

О работе с сайтом

Мы используем cookie.

Публикуя материалы на сайте (комментарии, статьи, разработки и др.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьми лицами.

При этом редакция сайта готова оказывать всяческую поддержку как в публикации, так и других вопросах.

Если вы обнаружили, что на нашем сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору — материалы будут удалены.

Функция двух переменных

При изучении многих зависимостей используют понятие функции нескольких переменных.

Например: температура Т, измеряемая в различных точках некоторого тела или пространства, зависит от координат точки (х, у, z) (от места, где устанавливается термометр) и от момента времени t. В этом случае пишут T=f(x, у, z, t).

Мы будем рассматривать только случай функций двух переменных. Выводы, полученные при этом, можно легко распространить на функции от большего числа переменных.

Примером функции двух переменных может служить зависимость площади прямоугольника от длины a и от ширины b. формула имеет вид S=a*b Опр. Функция двух переменных – это правило, по которому каждой паре х и у ставится в соответствие единственное значение Z.

Обозначают z=f(x,y), f-закон соответствие по которому паре х и у ставится в соответствие значение Z.

Значение функции двух переменных находится так же как и для функции одной переменной

Например: Вычислить значение функции двух переменных Z=x 2 –2xy, в точке М(1,2)

Z(1,2)= f(x,y)=1 2 –2*1*2=1–4= –3

Опр. Область определения функции двух переменных z=f(x,y) называется множество пар переменных х и у для которых функция z=f(x,y) определена.

Область определения может иметь вид прямоугольника, круга, полуплоскости.

Пример 1:

Найти область определения для функции Z=

Корень существует, если ху0, это возможно когда

или

область определения функции двух переменных обычно изображается штриховкой в системе ПДСК координат на плоскости.

Найти область определения для функции Z=,

Выражение будет существовать когда корень 0, знаменатель 0

, т.е. 4–х 2 –у 2 >0

х 2 +у 2 =4 окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 2.

Возьмем точку из окружности (0,0) и подставим ее в неравенство, получим верное равенство, следовательно областью определений будет все множество точек лежащее внутри окружности.

Геометрический смысл функции двух переменных.

Дана функция двух переменных z=f(x,y). Каждой точке из области определения с координатами (х,у) соответствует одно значение переменной z=f(x,y). Таким образом определяется упорядоченная тройка чисел (х,у,f(x,y)), таких точек можно получить сколь угодно много, если переменные пробегают всевозможные значения из области определения, то в пространстве получится поверхность – график функции двух переменных.

Например: поверхность определяемая уравнением Z=x 2 +y 2 называется параболоид вращения.

Предел функции двух переменных.

Опр. Пределом функции двух переменных называется число к которому стремится сама функция при стремлении аргументов каждый к своему значению. z=f(x,y) , М(х) обозначается

Например: z= x 3 –4xy 2 M(-1,0)

Непрерывность функции двух переменных.

Опр Функция f(х,у) называется непрерывной в точке), если бесконечно малым изменениям значений аргументов х и у соответствует бесконечно малое изменение функции f(х,у).

График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов, «проколов» и других особенностей.

Опр Функция двух переменных называется непрерывной в своей области определения, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Читайте также:  Как определить високосный год или нет

Частные производные первого и второго порядка.

Рассмотрим функцию Z=f(x,y), зафиксируем переменную у=у, тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной Z=f(x,y).

Опр. Разность между конечным и начальным значениями функции называется частным приращением функции от данной переменной.

Для х задаем приращение х

Опр. Частной производной функции двух переменных Z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения приращения функции по переменной х к приращению аргумента х, при условии что х0.

Обозначают ,Z’x, f’x(x,y),

Z’x=

Аналогично определяем другую частную производную Z’у

Аналогично фиксируем переменную х=х, у-переменная

Опр. Частной производной функции двух переменных Z=f(x,y) по переменной у называется предел отношения приращения функции по переменной у к приращению аргумента у, при условии что у0.

Z’у=

Производные от функции двух переменных находится по тем же самым правилам и формулам, как и производная функции одной переменной. Только необходимо помнить, какая из данных переменных зафиксирована, а какая продолжает изменяться.

Частные производные по переменным Х и У, станут новыми функциями двух переменных и при необходимости от них можно найти частные производные как по переменной Х так и по У­– они называются частными производными второго порядка.

Z”xх – частная производная второго порядка дважды дифференцирован по переменной Х

Z”уу ,– част пр-я 2-го порядка дважды дифференцирован по переменной У

Z”ху ,– част пр-я 2-го порядка сначала найденная по перем Х, потом по У

Z”ух ,– част пр-я 2-го порядка сначала найденная по перем У, потом по Х

Пример: Найти частные производные второго порядка от функции

Z=x 2 –3y 2 –6xy–2x–y+9

Заметим что частные производные второго порядка Z’xy Z’yx равны между собой, и следовательно не зависят от порядка дифференцирования.

Экстремум функции двух переменных.

Опр. Функция Z=f(x,y), в точке (х) будет иметь минимум, если для всех других точек с координатами (х;у) будет выполнено следующее условие: f(х) f(x,y)

Максимум и минимум функции как и в случае функции одной переменной будем называть экстремумами функции.

Теорема1: (необходимое условие существования экстремума)

Если функция Z=f(x,y) имеет экстремум в точке (х), то ее частные производные, первого порядка, в этой точке равны нулю.

Т.е. если для Z=f(x,y) (х)–экстремум 

Точки в которых производная равна нулю называют критическими точками.

Теорема2: (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция Z=f(x,y)-непрерывная в области определения вместе со своими производными и точка М)–критическая точка, обозначим

А=B=C=

если АС–В 2 >0, то функция имеет экстремум в точке М, причем

минимум, если А>0

максимум, если А 2 2 =0, то нужны дополнительные исследования на определение точек экстремума (сомнительный случай)

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум.

Найти частные производные первого порядка.

Найти критические точки, т.е. решить систему

Найти частные производные второго порядка, т.е. найти А,В,С.

Сделать выводы на основании Т2 о точках экстремума.

Пример: Исследовать на экстремум функцию Z=3x 2 +3xy+у 2 –6х–2y+7

2. Решим систему:

у=2–2х

у=2-2(2)=–2 (2;–2)– критическая точка

4. АС–В 2 =3 >0 – экстремум есть и т.к. А=6>0 следовательно (2;–2) – точка минимума.

5.

(2;–2;3) – точка минимума.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть фиксированная точка на поверхности, заданной функцией

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскостьt проходящая через эту точку и такая, что угол между этой плоскостью и секущей проходящей через эту точку и любую точку поверхности стремится к нулю.

Уравнение t:

Нормалью называется прямая n, проходящая через точку и перпендикулярно касательной плоскости.

Уравнение n:

Примерами объектов подобного вида второго порядка являются эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус второго порядка и многие другие. Рассмотрим построение эллипсоида, под которым понимается поверхность, определяемая в системе декартовых прямоугольных координат следующим уравнением:

Читайте также:  Расчетный счет контрольная сумма

(4.1)

Такое уравнение описывает эллипсоид, представляющий собой замкнутую овальную поверхность, обладающую тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.

Для построения эллипсоида в Excel каноническое уравнение (4.1) необходимо решить относительно переменной z (представить в виде функции z=f(x, у):

Пусть необходимо построить верхнюю часть эллипсоида, лежащую в диапазонах: х=[–3; 3], у=[–2; 2] с шагом ∆х =0,5 для обеих переменных. Введем значения переменной х в столбец А, для чего в ячейку А1 вводим символ х, а в ячейку А2 вводится первое значение аргумента (–3). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (–2,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Значения переменной у вводим в строку 1, для чего в ячейку В1 вводится первое значение переменной у= -2. В ячейку С1 вводится второе значение переменной у=-1,5 в соответствии с заданным шагом переменной у. Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением вводим все остальные значения аргумента у (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки J1).

Далее вводим значения функции z в соответствии с уравнением (4.1). Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка > Функции fx. В появившемся диалоговом окне Мастер функций шаг 1 из 2 в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Корень, нажимаем кнопку ОК и появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 1- $А2^2/9-В$1^2/4, обратите внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А — переменной х и строки 1 — переменной у. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется #ЧИСЛО! (при х=–3 и у=–2 точек рассматриваемого эллипсоида не существует). Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2, для чего автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон B2:J2, после чего (протягиванием вниз) — в диапазон ВЗ:J14. В результате должна быть получена следующая таблица точек эллипсоида.

Рис.4.40. Вычисление функции Z

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность, после чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных B2:J14.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах. Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей, для чего щелкните в нем указателем мыши и введите диапазон подписей оси хА2: A14.

Вводим значения подписей оси у, для чего в рабочем поле Ряд указываем первую запись Ряд 1 и в рабочее поле Имя, активизировав его указателем мыши, вводим первое значение переменной у: -2. Затем в поле Ряд указываем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у: –1,5. Повторяем таким образом до последней записи — Ряд 9 и после появления требуемых записей нажимаем кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: Эллипсоид. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: х, у и z. Далее следует нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена следующая диаграмма эллипсоида (рис.4.41).

Ссылка на основную публикацию
Фиксированная шапка сайта при прокрутке
Допустим у вас важная информация например контакты находятся в шапке и вы хотите что бы они всегда были на веду...
Удаление последнего элемента списка
Введение. Основные операции О дносвязный список – структура данных, в которой каждый элемент (узел) хранит информацию, а также ссылку на...
Удаление дубликатов фотографий на русском бесплатно
Здравствуйте Уважаемый Друг. У каждого из нас на компьютере хранится большое количество различных фотографий изображений и тому подобных картинок. Парой...
Фиксированное меню при скролле
Создаём эффект залипания при прокручивании страницы на блоках меню навигации, бокового виджета и меню с помощью jQuery и без него....
Adblock detector