Чему равна высота прямоугольного параллелепипеда

Чему равна высота прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда, формула.

Параллелепипедом является призма, основание у которой – это параллелограмм. У параллелепипеда

6 граней, а они, в свою очередь, являются параллелограммами.

Параллелепипед, у которого 4 боковые грани — это прямоугольники, является прямым

Прямой параллелепипед, у которого все 6 граней прямоугольники, является прямоугольным.

Другими словами, прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, у которой есть 6 граней, и

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

где, H — высота параллелепипеда,

a – длина параллелепипеда,

b – ширина параллелепипеда,

h — высота прямоугольного параллелепипеда,

Примеры прямоугольного параллелепипеда: спортивный зал, кирпич, картонная коробка или столешница

Длины 3 рёбер прямоугольного параллелепипеда, которые имеют общий конец, называются измерениями

прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями является кубом. Все 6 граней куба — это

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда = сумме квадратов 3 его измерений.

Объем прямого параллелепипеда, формула.

Как найти объем параллелепипеда?

Площадь боковой поверхности параллелепипеда, формула:

где Ро — периметр основания,

Площадь полной поверхности, формула

где Sо — площадь основания

Формула объёма прямого параллелепипеда:

Объем произвольного параллелепипеда.

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры.

Чему равен объём параллелепипеда? Объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного

произведения трёх векторов, которые определяются 3-мя сторонами параллелепипеда, которые исходят

из одной вершины.

Соотношение длина сторон параллелепипеда – угол между ними даёт утверждение, что определитель

Грама указанных 3х векторов равен квадрату их смешанного произведения.

Для того чтобы выяснить, как найти высоту параллелепипеда, сначала разберемся с понятиями.

Определения:

Параллелепипедом называется многогранник, имеющий шесть сторон, каждая из которых представляет из себя параллелограмм.

  • Параллелепипеды могут быть наклонными или прямыми.
  • Наклонный параллелепипед — это такой параллелепипед, в котором грани не перпендикулярны основанию.
  • Прямоугольный параллелепипед — это частный случай, где все грани фигуры являются не просто параллелограммами, а прямоугольниками, и они перпендикулярны основанию.
  • Высота параллелепипеда — это расстояние между двумя его противоположными плоскостями (отрезок, перпендикулярный основаниям).

Рассмотрим разные способы, как находить высоту параллелепипеда.

Способы решения:

Обозначим высоту буквой h.

Способ 1. Даны объем и площадь основания

Формула:

  • h = V/S
  • Где, V — объем параллелепипеда
  • S — площадь основания, к которому проведена высота.

Пример:

Объем наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 36 см 3 , площадь основания ABCD, к которому проведена высота равна 9 см 2 . Найдите высоту.

Решение:

  • h = 36/9 = 4 (см)
  • Ответ: 4 см.

Способ 2: даны объем и длины граней

Пример:

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 36 см 3 , длина основания ABCD к которому проведена высота равна 4 см, ширина равна 3 см. Найдите высоту.

Читайте также:  Разбор слова несколько по составу

Решение:

Формула для высоты остается та же:

S — это площадь основания и мы можем найти ее по формуле:

где a и b — стороны параллелограмма, в нашем случае AB и BC. Исходя из этого, мы можем изменить вид формулы, подставив вместо S выражение a*b

У нас получится формула: h=V/ (a*b)

Способ 3: прямоугольный параллелепипед

Как мы уже выяснили выше, такой параллелепипед является частным случаем. Как найти высоту прямоугольного параллелепипеда? Очень просто — в нем высота всегда совпадает с одной из граней. Поэтому, чтобы ее найти, не требуется специальных формул. Здесь понадобятся формулы для нахождения длины граней. Например, формула объема параллелепипеда:

  • V = a*b*c, где a, b и с — грани фигуры.

Любую из граней можно найти по формуле:

  • a = V / (b*c), а так как h в данном случае равна а, то
  • h = V / (b*c)

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.

Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.

1. Высоты BF и BN соизмеримы.

Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.

Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.

Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.

Таким образом мы получим:

2. Высоты BF и BN несоизмеримы.

Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.

Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.

Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.

Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.

Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Пусть (рис.) P и P1 два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a1 и b1.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b1.

У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b1, и следовательно:

Объем P/Объем Q = b/b1 [1]

У параллелепипедов Q и P1 боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a1, и следовательно:

Читайте также:  Как установить пароль на аутлук

Объем Q/Объем P1 = a/a1 [2]

Перемножив равенства [1] и [2], найдем:

Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a1b1 — площадь основания пар-да P1, то лемма доказана.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P1 какая-нибудь кубическая единица.

Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B1 и H1.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B1, а высота H.

Сравнивая P с Q, а затем Q с P1, находим:

Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1

Перемножив эти равенства, получим:

Об. P/Об. P1 = B/B1 * H/H1

Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:

Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.

Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.

где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:

потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.

Следствия:

  1. Объем куба равен третьей степени его ребра.
  2. Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 10 3 , т.е. 1000.

Объем любого параллелепипеда

Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота — ее боковому ребру.

Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A1d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa1=AA1 и через точку a1 проведем перпендикулярное сечение a1b1с1d1e1.

Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb1 = сс1 = dd1 = ee1 = aa1 = AA1.

Вследствие этого многогранник a1d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.

Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.

Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a1D1 равны.

С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A1A = a1a по одной и той же прямой A1a , получим aA = a1A1.

Читайте также:  System diagnostics process start

Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a1D1 так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.

Поэтому многогранник aD совместится с a1D1. Значит, эти тела равны.

Теперь заметим, что если от целого многогранника a1D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a1D1, то получим наклонную призму.

Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.

Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.

1. Пусть (рис.) AC1 прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани — прямоугольники.

Возьмем в нем за основание грань AA1B1B. Тогда параллелепипед будет наклонный.

Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.

Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.

Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:

Объем AC1 = MN * MQ * BC

Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:

Объем AC1 = (площ.ABCD ) * MN

2. Пусть (рис.) AC1 есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.

Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:

Объем AC1 = (площ.MNPQ ) * BC

Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:

Объем AC1 = MQ * RS * BC

Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:

Объем AC1 = (площ.ABCD ) * RS

Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие. Если V, B и H — числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого — нибудь паралллелепипеда, то можем написать:

V = BH

Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S1 и S2. Найти объем параллелепипеда.

Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).

Обозначим длины диагоналей основания через d1 и d2. Тогда

Ссылка на основную публикацию
Хрипит динамик в машине причины
Атмосфера в салоне автомобиля во многом зависит от работы акустической системы. В бюджетных машинах штатная магнитола и динамики оставляют желать...
Фиксированная шапка сайта при прокрутке
Допустим у вас важная информация например контакты находятся в шапке и вы хотите что бы они всегда были на веду...
Фиксированное меню при скролле
Создаём эффект залипания при прокручивании страницы на блоках меню навигации, бокового виджета и меню с помощью jQuery и без него....
Хром видео не на весь экран
БлогNot. Chrome 33 перестал показывать YouTube в полный экран. Chrome 33 перестал показывать YouTube в полный экран. Видел такой запрос....
Adblock detector